Три окружности попарно касаются друг друга. отрезки, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник с катетами 9 дм и 40 дм . Вычисли радиусы окружностей.
Ответы
Ответ:
4 дм, 5 дм; 36 дм
Пошаговое объяснение:
1) Обозначим отрезки, соединяющие центры окружностей: АС = 9 дм, ВС = 40 дм и найдём отрезок АВ:
АВ = √(АС²+ВС²) = √(9²+40²) = √(81+1600) = √1681 = 41 дм
2) Пусть а, b и с - радиусы окружностей, центры которых совпадают с вершинами треугольника АВС, тогда расстояния между вершинами треугольника равны суммам радиусов окружностей:
АВ = а + b; ВС = b + c; АС = а + с.
3) Составим систему уравнений и найдём неизвестные радиусы окружностей:
а + b = 41 (1)
b + c = 40 (2)
а + с = 9 (3)
Из уравнения (1) вычтем уравнение (2):
а + b - b - c = 41 - 40
а - с = 1 (4)
и полученное уравнение (4) сложим с уравнением (3):
а - с + а + с = 1 + 9
2а = 10
а = 5 дм.
4) Подставим полученное значение а в уравнение (1):
5 + b = 41
b = 41 - 5
b = 36 дм
5) Подставим полученное значение b в уравнение (2):
36 + с = 40
с = 40 - 36
с = 4 дм
Ответ: радиусы окружностей равны 4 дм, 5 дм и 36 дм.