Question

Дифференциальное уравнение второго порядка! Помогите решить пожалуйста,очень нужно

Answer 1

Ответ:

$1)y'' + 4y '- 2y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{2} + 4k - 2 = 0 \\ D= 16 + 8 = 24 = 4 \times 6 \\ k_1 = \frac{ - 4 + 2 \sqrt{6} }{2} = - 2 + \sqrt{6} \\ k_2 = - 2 - \sqrt{6} \\ \\ y = C_1 {e}^{( - 2 + \sqrt{6} )x} + C_2 {e}^{( - 2 - \sqrt{6} )x}$

$2)y = A \sin(2x) + B \cos(2x)$

$y' = 2A\cos(2x) - 2B \sin(2x)$

$y'' = - 4A\sin(2x) - 4 B \cos(2x)$

$- 4A \sin(2x) - 4B \cos(2x) + 8A \cos(2x) - 8B \sin(2x) + \\ -2A \sin(2x) - 2B\cos(2x) = 8 \sin(2x) \\ ( - 6A - 8B) \sin(2x) + ( - 6B+ 8A) \cos(2x) = 8 \sin(2x) \\ \\ - 6A - 8B = 8\\ 8 A - 6B = 0 \\ \\ B = \frac{4}{3}A\\ - 6A - \frac{24}{3}A = 8 \\ A = - \frac{12}{25} \\ \\ B= - \frac{16}{25}$

$y = - \frac{12}{25} \sin(2x) - \frac{16}{25} \cos(2x)$

Общее решение:

$y = C_1 {e}^{( - 2 + \sqrt{6} )x} + C_2 {e}^{( - 2 - \sqrt{6} )x} - \frac{12}{25 } \sin(2x) - \frac{16}{25} \cos(2x)$