Question

№15 Какое из данных уравнений не имеет корней

№16 Найти корни уравнения

№17 Решить уравнение

Answer 1

Ответ:

$cosx=-x;$

$x=\pm \dfrac{3\pi}{16}+\dfrac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb {Z};$

$x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi k, \quad k \in \mathbb {Z};$

Объяснение:

$arccos(-x)=\pi-arccos(x);$

$cosx=-\dfrac{\pi}{6};$

Уравнение имеет корень, так как существует

$arccos \bigg (-\dfrac{\pi}{6} \bigg )=\pi-arccos \bigg (\dfrac{\pi}{6} \bigg );$

$cosx=\dfrac{5}{6};$

Уравнение имеет корень, так как

$\dfrac{5}{6}<1;$

$cosx=-\dfrac{\sqrt{3}}{2};$

Уравнение имеет корень, так как существует

$arccos \bigg (-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \bigg )=\pi-arccos \bigg (\dfrac{\sqrt{3}}{2} \bigg );$

$cosx=\dfrac{\sqrt{11}}{4};$

Уравнение имеет корень, так как

$\dfrac{\sqrt{11}}{4}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{16}}; \quad 1=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{16}}; \quad \dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{16}}<\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{16}} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{11}}{4}<1;$

Остаётся уравнение

$cosx=-x;$

__________________________________________________

$cos4x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2};$

$4x=\pm arccos \bigg (-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \bigg )+2\pi k, \quad k \in \mathbb {Z};$

$4x=\pm \bigg (\pi-arccos \bigg (\dfrac{\sqrt{2}}{2} \bigg ) \bigg )+2\pi k, \quad k \in \mathbb {Z};$

$4x=\pm \bigg (\pi-\dfrac{\pi}{4} \bigg )+2\pi k, \quad k \in \mathbb {Z};$

$4x=\pm \dfrac{3\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in \mathbb {Z};$

$x=\pm \dfrac{3\pi}{16}+\dfrac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb {Z};$

___________________________________________________

$tg \bigg (x-\dfrac{\pi}{4} \bigg )=\dfrac{\sqrt{3}}{3};$

$x-\dfrac{\pi}{4}=arctg \bigg (\dfrac{\sqrt{3}}{3} \bigg )+\pi k, \quad k \in \mathbb {Z};$

$x-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{6}+\pi k, \quad k \in \mathbb {Z};$

$x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \quad k \in \mathbb {Z};$

$x=\dfrac{2\pi}{12}+\dfrac{3\pi}{12}+\pi k, \quad k \in \mathbb {Z};$

$x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi k, \quad k \in \mathbb {Z};$

Answer 2

15. Д. cosx = - π. a є [0; π ]. cosx = a

- π ∉ [0; π ]. x є ø

Ответ: Д. Перечеркнутое "∉" значит, что выражение не принадлежит промежутку. Д.

16. cos4x = -√2/2

4x = ± arccos(-√2/2) + 2πn, n є Z

4x = ± 3π/4 + 2πn, n є Z

x = ± 3π/16 + πn/2, n є Z Б.

Ответ: Б.

17. tg(x - π/4) = √3/3

x - π/4 = arctg√3/3 + πk, k є Z

x - π/4 = π/6 + πk, k є Z

x = π/6 + π/4 + πk, k є Z

x = 5π/12 + πk, k є Z. Г.

Ответ: Г.