Question

Треугольник HZF равносторонний со стороной 5 . Прямая HE
перпендикулярна его плоскости, |HE|=4 . Вычислите угол между плоскостями
ܼZEF и HZE. Ответ дайте в радианах.
Буду очень благодарен.

Answer 1

Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

В данной задаче - это угол FKH.

Отрезки FK и HK это высоты треугольников боковых граней ZEF и HZE.

Находим их длины.

Треугольник ZEF равнобедренный. Боковые стороны равны

FE = ZE = √(5² + 4²) = √(25 + 16) = √41.

Его высота к стороне FZ = √(41 - (5/2)²) = √139/2.

Тогда высота FK к стороне ZE равна (√139/2*5)/√41 = 2,5√(139/41).

Высота НК к стороне EZ равна (4*5)/√41 = 20/√41.

Стороны треугольника HKF определены, по теореме косинусов находим угол HKF.

cos HKF = ((20/√41)² + (2,5√(139/41))² - 5²)/(2*(20/√41)*(2,5√(139/41)) = 0,206746052

Угол HKF равен 1,3626 радиан или 78,0683 градуса.