Question

Ребятки!! СРОЧНО!!! Помогите решить уравнения!

Answer 1

Ответ:

Везде одна замена при решении ОЛДУ:

$y = {e}^{kx}$

1.

$y'' - 6y '+ 13y = 3x + 1$

1)

$y ''- 6y' + 13y = 0 \\ k {}^{2} - 6k + 13 = 0 \\ D = 36 - 52 = - 16\\ k_1 = \frac{6 + \sqrt{ - 16} }{2} = \frac{6 + 4i}{2} = 3 + 2 i \\ k_2 = 3 - 2i \\ y = {e}^{3x}( C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x))$

2)

$y = Ax + B \\ y' = A \\ y'' = 0$

В НЛДУ:

$0 - 6A + 13(Ax + B) = 3x + 1 \\ - 6A + 13Ax + 13B = 3x + 1 \\ \\ 13A = 3 \\ - 6A + 13B= 1 \\ \\ A= \frac{3}{13} \\ B= \frac{1}{13} (1 + 6A) = \frac{1}{13} \times \frac{31}{13} = \frac{31}{169}$

$y = \frac{3}{13} x + \frac{31}{169}$

Общее решение:

$y = {e}^{3x} (C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x)) + \frac{3x}{13} + \frac{31}{169}$

2.

$y'' - 7y' + 12y = 5 \sin(2x) - \cos(2x)$

1)

$y ''- 7y' + 12y = 0$

${k}^{2} - 7k + 12 = 0 \\ D = 49 - 48 = 1\\ k_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4 \\ k_2 = 3 \\ y = C_1 {e}^{3x} + C_2 {e}^{4x}$

2)

$y = A \sin(2x) + B \cos(2x)$

$y '= 2A\cos(2x) - 2B \sin(2x)$

$y'' = - 4A \sin(2x) - 4B \cos(2x)$

В НЛДУ:

$- 4A\sin(2x) - 4B \cos(2 x) - 14A \cos(2x) + 14B\sin(2x) + 12A \sin(2x) + 12B \cos(2x) = 5 \sin(2x) - \cos(2x) \\ ( 8A + 14B ) \sin(2x) + ( 8B - 14A) \cos(2x) = 5 \sin(2x) - \cos(2x) \\ \\ 8A + 14B = 5\\ - 14A+ 8B = - 1 \\ \\ A= \frac{27}{130} \\ B= \frac{31}{130}$

$y = \frac{27}{130 }\sin(2x) + \frac{31}{130} \cos(2x)$

общее решение:

$y = C_1 {e}^{3x} + C_2 {e}^{4x} + \frac{27}{130} \sin(2x) + \frac{31}{130} \cos(2x)$

3.

$y'' + 10y '+ 25y = {e}^{ - 5x}$

1)

$y'' + 10y' + 25y = 0 \\ {k}^{2} + 10k + 25 = 0\\( k + 5) {}^{2} = 0 \\ k_1=k_2 = - 5 \\ y = C_1 {e}^{ - 5x} + C_2 {e}^{ - 5x} x$

2) Коэффициенты у е совпадают с общий решением ОЛДУ 2 раза, поэтому умножаем еще на х^2

$y = A{x}^{2} {e}^{ - 5x}$

$y' = 2Ax {e}^{ - 5x} - 5A {x}^{2} e {}^{ - 5x} = A {e}^{ - 5x} (2x - 5 {x}^{2} )$

$y'' = - 5A {e}^{ - 5x} (2x - 5 {x}^{2} ) + (2 - 10x)Ae{}^{ - 5x} = \\ = A{e}^{ - 5x} ( - 10x + 25 {x}^{2} + 2 - 10x) = \\ = Ae {}^{ - 5x} (25 {x}^{2} - 20x + 2)$

В НЛДУ:

$A {e}^{ - 5x} ( 25 {x}^{2} - 20x + 2 + 20x - 50 {x}^{2} + 25 {x}^{2} ) = {e}^{ - 5x} \\ Ae {}^{ - 5x} \times 2 = e {}^{ - 5x} \\ A = \frac{1}{2}$

$y = \frac{ {x}^{2} }{2} {e}^{ - 5x}$

общее решение:

$y = C_1 {e}^{ - 5x} + C_2 {e}^{ - 5x} x + \frac{ {x}^{2} }{2} {e}^{ - 5x} = \\ = {e}^{ - 5x} (C_1 + C_2x + \frac{ {x}^{2} }{2} )$