Question

Исследовать на сходимость! Помогите пожалуйста!

Answer 1

Ответ:   несобственный интеграл сходится .

$\int\limits^{\infty }_0\, \dfrac{x\, dx}{16x^4-1}=\lim\limits_{A \to +\infty}\int\limits^{A}_0\, \dfrac{x\, dx}{16x^4-1}=\lim\limits_{A \to +\infty}\int\limits^{A}_0\, \dfrac{x\, dx}{16\cdot (\, (x^2)^2-\frac{1}{16}\, )}=\\\\\\=\dfrac{1}{16}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \lim\limits_{A \to +\infty}\int\limits^{A}_0\, \dfrac{2\cdot x\, dx}{(x^2)^2-(\frac{1}{4})^2}=$

$=\Big[\ \int \dfrac{2\cdot x\, dx}{(x^2)^2-\frac{1}{16}}=\int \dfrac{du}{u^2-\frac{1}{16}}=\dfrac{1}{2\cdot \frac{1}{4}}\cdot ln\Big|\, \dfrac{u-\frac{1}{4}}{u+\frac{1}{4}}\, \Big|+C=2\cdot ln\Big|\dfrac{4x^2-1}{4x^2+1}\, \Big|+C\ \Big]=$

$=\dfrac{1}{16}\cdot \lim\limits _{A \to +\infty}\, ln\Big|\dfrac{4x^2-1}{4x^2+1}\, \Big|\, \Big|_0^{A}=\dfrac{1}{16}\cdot \lim\limits _{A \to +\infty}\, \left (ln\Big(\dfrac{4A^2-1}{4A^2+1}\, \Big)-\underbrace{ln1}_{0}\right)=\\\\\\=\dfrac{1}{16}\cdot \lim\limits _{A \to +\infty}\Big(ln\dfrac{4A^2-1}{4A^2+1}\Big)=\dfrac{1}{16}\cdot \lim\limits _{A \to +\infty}\Big(ln\dfrac{4A^2}{4A^2}\Big)=\dfrac{1}{16}\cdot \lim\limits _{A \to +\infty}\, (ln1)=0\ ;\\\\\\sxoditsya$

$P.S.\ \ \lim\limits _{x \to \infty}\, \dfrac{4x^2-1}{4x^2+1}=\lim\limits _{x \to \infty}\, \dfrac{\frac{4x^2}{4x^2}-\frac{1}{4x^2}}{\frac{4x^2}{4x^2}+\frac{1}{4x^2}}=\lim\limits _{x \to \infty}\, \dfrac{1-\frac{1}{4x^2}}{1+\frac{1}{4x^2}}=\lim\limits _{x \to \infty}\, \dfrac{1-0}{1+0}=1$

$ili:\ \ \ (a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_1x+a_0)\sim a_{n}x^{n}\ \ ,\ \ esli\ \ x\to \infty \ \ \ \Rightarrow \\\\\lim\limits _{x \to \infty}\, \dfrac{4x^2-1}{4x^2+1}=\lim\limits _{x \to \infty}\, \dfrac{4x^2}{4x^2}=\lim\limits _{x \to \infty}\, 1=1$