Question

Решить неопределённые интегралы методом подстановки.

Answer 1

Все интегралы решаются по частям.

1.

$\int\limits(1 - x) \sin(x) dx \\ \\ U = 1 - x \: \: \: \: \: \: \: \: dU= - dx \\ dV= \sin(x) dx \: \: \: \: \: \: \: V = \int\limits \sin(x) dx = - \cos(x) \\ \\ UV- \int\limits \: VdU = \\ = (1 - x) \times ( - \cos(x)) - \int\limits( \cos(x)) \times ( - dx) = \\ = - (1 - x) \cos(x) - \int\limits \cos(x) dx = \\ = (x - 1) \cos(x) - \sin(x) + C$

2.

$\int\limits {ln}^{2}( x)dx \\ \\ U = {ln}^{2}( x )\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: dU= ( {ln}^{2} x)dx = \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = 2 ln(x) \times \frac{1}{x} dx \\ dV= x \: \: \: \: \: \: \: \: V= \int\limits \: dx = x \\ \\ x {ln}^{2}( x) - \int\limits2 ln(x) \times \frac{dx}{x} \times x = \\ = x {ln}^{2}( x) - 2\int\limits ln(x) dx \\ \\ - - - - - - - - - - - \\ \int\limits ln(x) dx \\ U= ln(x) \: \: \: dU = \frac{dx}{x} \\ dV = dx \: \: \: V = x \\ \\ x ln(x) - \int\limits \frac{dx}{x} \times x = \\ = x ln(x) - x + C \\ - - - - - - - - - - - \\ \\ x {ln}^{2}( x) - 2(x ln(x) - x) + C= \\ = x( {ln}^{2} x - 2 ln(x) + 2x) + C$

3.

$\int\limits \frac{xdx}{ \sin {}^{2} (x) } \\ \\ U= x \: \: \: \: \: \: \: \: \: dU = dx \\ dV= \frac{dx}{ \sin {}^{2} ( x ) } \: \: V = \int\limits \frac{dx}{ \sin {}^{2} (x) } = \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = - ctg(x) \\ \\ - xctg(x) - \int\limits( - ctg(x))dx = \\ = - xctg(x) + \int\limits \frac{ \cos(x) }{ \sin(x) } dx = \\ = - xctg(x) + \int\limits \frac{d( \sin(x)) }{ \sin(x) } = \\ = - xctg(x) + ln | \sin(x) | + C$