Question

решить задачу Коши для дифференциального уравнения, которое предполагает понижение порядка: y"=1-(y')², y(0)=0, y'(0)=0.​

Answer 1

Ответ:

Замена:

$y' = v(x) \\ y'' = v'(x)$

$v'= 1 - {v}^{2} \\ \frac{dv}{dx} = 1 - v {}^{2} \\ \int\limits \frac{dv}{1 - v {}^{2} } =\int\limits dx \\ \frac{1}{2} ln | \frac{1 +v}{1 - v} | = x + C_1 \\ ln | \frac{1 +v }{1 - v} | = 2x + C_1\\ \frac{1 +v }{1 -v } = {e}^{2x + C_1} \\ \frac{1 + y'}{1 -y'} = {e}^{2x + C_1} \\ 1 + y' = {e}^{2 x+ C_1} - {e}^{2 x+ C_1} y' \\ 1 +y' + {e}^{2x + C_1} y'= {e}^{2x + C_1} \\ y'( 1 + {e}^{2x + C_1} ) = {e}^{2x + C_1} - 1 \\ y' = \frac{ {e}^{2x + C_1} - 1 }{ {e}^{2x + C_1} + 1} \\ y = \int\limits \frac{ {e}^{2x + C_1} - 1 }{ {e}^{2x + C_1} + 1} dx \\ \\ e { }^{2x + C_1} + 1 = t \\ 2 {e}^{2x + C_1} dx = dt \\ dx = \frac{dt}{2(t - 1)} \\ {e}^{2x + C_1} - 1 = t - 2 \\ \\ \int\limits \frac{ t - 2 }{ t} \times \times \frac{dt}{2(t - 1)} = \frac{1}{2} \int\limits \frac{t - 2}{t(t - 1)} dt \\ \\ \frac{t - 2}{t(t - 1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t - 1} \\ t - 2 = At - A + Bt \\ \\ 1 = A + B \\ - 2 = - A \\ \\ A = 2\\ B= - 1 \\ \\ \frac{1}{2} ( \int\limits \frac{2dt}{t} - \int\limits \frac{dt}{t - 1} ) = \frac{1}{2} (2ln |t| - ln |t - 1| ) + C_2 = \\ = ln | {e}^{2x + C_1} + 1 | - \frac{1}{2} ln | {e}^{2x + C_1} | + C_2 = \\ = ln | {e}^{2x + C_1} + 1 | - \frac{1}{2} (2x + C_1) + C_2 = \\ = ln | {e}^{2x + C_1} + 1 | - x -C_1 + C_2 = \\ = ln | {e}^{2x + C_1} + 1 | - x + C_2 \\ \\ y = ln | {e}^{2x + C_1} + 1| - x + C_2$

- общее решение

$y(0) = 0,y'(0) = 0$

$y' = \frac{1}{ {e}^{2x + C_1} + 1 } \times 2 {e}^{2x + C_1} - 1$

$0 = ln( {e}^{C_1} + 1) - 0 + C_2 \\ 0 = \frac{2 {e}^{C_1} }{ { e }^{C_1} + 1 } - 1 \\ \\ 1 = \frac{2 {e}^{C_1} }{ {e}^{C_1} + 1} \\ 2 {e}^{C_1} = {e}^{C_1} + 1 \\ {e}^{C_1} = 1\\ C_1 = 0 \\ \\ C_2 = - ln( {e}^{C_1} +1 ) = - ln(2)$

Частное решение:

$y = ln( | {e}^{2x } + 1 | ) - x - ln(2)$