Question

y"+xy'=0
решите уравнение​

Answer 1

$y'' + xy' = 0 \\ \frac{d {}^{2}y }{dx {}^{2} } + x \frac{dy}{dx} = 0$

Пусть $\frac{dy(x)}{dx} = u(x)$, тогда запишем уравнение в следующем виде:

$\frac{du}{dx} = - xu \\ \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = - x \\ \int \frac{1}{u} \frac{du}{dx} dx = \int - xdx \\ \int \frac{du}{u} = - \frac{ {x}^{2} }{2} + c_{1} \\ ln(u) = - \frac{ {x}^{2} }{2} \\ u = {e}^{ - \frac{ {x}^{2} }{2} + c_{1}} \\ \frac{dy}{dx} = c_{1}{e}^{ - \frac{ {x}^{2} }{2} } \\ \int \frac{dy}{dx} dx = \int c_{1}{e}^{ - \frac{ {x}^{2} }{2} }dx \\ \int dy = c_{1}\int {e}^{ - \frac{ {x}^{2} }{2} } \\ y = c_{1}\sqrt{ \frac{\pi}{2} }erf( \frac{x}{ \sqrt{2} } ) + c_{2}$

Ответ: $y(x) = c_{1}erf( \frac{x}{ \sqrt{2} } ) + c_{2}$.