Question

Вычислить длины дуг кривых. Помогите пожалуйста! Под буквой б!

Answer 1

Ответ:

$\left\{\begin{array}{l}x=3(cost+t\, sint)\\y=3(sint-t\, cost)\end{array}\right\ \ ,\ \ \ 0\leq t\leq \dfrac{\pi}{2}\\\\\\l=\int\limits^a_b\, \sqrt{(x')^2+(y')^2}\, dt\\\\\\x'=3(-sint+sint+t\, cost)=3t\, cost\\\\y'=3(cost-cost+t\, sint)=3t\, sint\\\\\\l=\int\limits^a_b\, \sqrt{(x')^2+(y')^2}\, dt=\int\limits^{ \pi /2}_0\, \sqrt{9t^2cos^2x+9t^2\, sin^2t}\, dt=$

$=\int\limits^{ \pi /2}_0\, \sqrt{9t^2\, (cos^2x+sin^2t)}\, dt=\int\limits^{ 2\pi}_0\, \sqrt{9t^2}\, dt=\int\limits^{ 2\pi}_0\, 3t\, dt=\dfrac{3}{2}\, t^2\, \Big|_0^{\pi /2}=\\\\\\=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{\pi ^2}{4}=\dfrac{3\pi ^2}{8}$