Question

Найти неопределенные интегралы.

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{5x - 3}{ {x}^{2} + 4x + 5} dx$

В числителе делаем производную знаменателя

$\frac{5}{2} \int\limits \frac{ \frac{2}{5}(5x - 3) }{ {x}^{2} + 4x + 5 } dx = \frac{5}{2} \int\limits \frac{2x - \frac{6}{5} }{ {x}^{2} + 4x + 5 } = \\ = \frac{5}{2} \int\limits \frac{2x + 4 - \frac{26}{5} }{ {x}^{2} + 4x + 5} dx = \\ = \frac{5}{2} \int\limits \frac{2x + 4}{ {x}^{2} + 4x + 5}dx - \frac{5}{2} \int\limits \frac{ \frac{26}{5} dx}{ {x}^{2} + 4x + 5 } = \\ = \frac{5}{2} \int\limits \frac{d( {x}^{2} + 4x + 5) }{ {x}^{2} + 4x + 5 } - \frac{5}{2} \times \frac{26}{5} \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} + 4x + 4 + 1 } = \\ = \frac{5}{2} ln | {x}^{2} + 4x + 5| - 13 \int\limits \frac{d(x + 2)}{ {(x + 2)}^{2} + 1 } = \\ = \frac{5}{2} ln | {x}^{2} + 4x + 5| - 13arctg(x + 2) + C$