Question

Задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение,
которое удовлетворяет приведенным начальным условиям.

y''-2y'+y=9e^(-2x)+2x-4,
y(0)=1, y'(0)=1.

Answer 1

1. Решение ОЛДУ:

$y ''- 2y' + y = 0 \\ y = {e}^{kx} \\ {k}^{2} - 2 k + 1 = 0 \\ {(k - 1)}^{2} = 0\\ k_1 = k_2 = 1 \\ y = C_1 {e}^{x} + C_2 {e}^{x} x$

2. Подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$у = A {e}^{ - 2x} + Bx + C$

$у' = - 2Ae {}^{ - 2x} + B$

$у'' = 4Ae {}^{ - 2x}$

Подставляем в НЛДУ:

$4Ae {}^{ - 2x} + 4Ae {}^{ - 2x} - 2B+ Ae {}^{ - 2x} + Bx + C = 9 {e}^{ - 2x} + 2x - 4 \\ 9Ae {}^{ - 2x} + Bx - 2B+ C = 9 {e}^{ - 2x} + 2x - 4 \\ \\ \begin{cases}9A = 9& \\B= 2& \\  C - 2B= - 4\end{cases} \\ \\ \begin{cases}A= 1 & \\B = 2 & \\  C = - 4 + 4 = 0\end{cases}$

Получаем:

$у = {e}^{ - 2x} + 2x$

Общее решение:

$y = C_1{e}^{x} + C_2 {e}^{x} x + {e}^{ - 2x} + 2x$

$y(0) = 1,y'(0) = 1$

$y' = C_1{e}^{x} + C_2 {e}^{x} + C_2 e {}^{x} x - 2 {e}^{ - 2x} + 2$

$\left \{ {{1 = C_1 + 1 } \atop {1 = C_1 + C_2 - 2 + 2} } \right. \\ \\ \left \{ {{C_1 = 0} \atop {C_2 =1 } } \right.$

$y = {e}^{x} x + {e}^{ - 2x} + 2x$

частное решение