Question

Срочно, помогите решить

Answer 1

Ответ:

1

Решим неопределённый интеграл по частям:

$\int\limits( {x}^{2} + 5x + 6) \cos( 2x ) dx \\ \\ u = {x}^{2} + 5x + 6 \: \: \: \: \: \: \: du = (2x + 5)dx \\ dv = \cos(2x) dx \: \: \: v = \frac{1}{2} \int\limits \cos(2x) d(2x) = \frac{1}{2} \sin(2x) \\ \\ uv - \int\limits \: vdu = \\ = ( {x}^{2} + 5x + 6) \times \frac{1}{2} \sin(2x) - \frac{1}{2} \int\limits(2x + 5) \sin(2x) dx \\ \\ u = 2x + 5 \: \: \: du = 2dx \\ dv = \sin(2x) dx \: \: \: v = - \frac{1}{2} \cos(2x) \\ \\ \frac{ {x}^{2} + 5x + 6}{2} \sin(2x) - \frac{1}{2} ( - \frac{2x + 5}{2} \cos(2x) + \int\limits \cos(2x) dx) = \\ = \frac{ {x}^{2} + 5x + 6}{2} \sin(2x) + \frac{2x + 5}{4} \cos(2x) - \frac{1}{4} \sin(2x) + C= \\ = \frac{2 {x}^{2} + 10x + 12 - 1}{4} \sin(2x) + \frac{2x + 5}{4} \cos(2x) + C = \\ = \frac{2 {x}^{2} + 10x + 11}{4} \sin(2x) + \frac{2x + 5}{4} \cos(2x) + C$

Подставим пределы:

$\frac{8 - 20 + 11}{4} \sin( - 4) + \frac{5 - 4}{4} \cos( - 4) - ( \frac{11}{4} \sin(0) + \frac{ 5}{4} \cos(0) ) = \\ = - \frac{1}{4} \sin( - 4) + \frac{1}{4} \cos( - 4) - \frac{5}{4} = \\ = \frac{ \cos( - 4) - \sin( - 4) - 5 }{4}=\frac{\cos(4)+\sin(4)-5}{4}$

2.

$\int\limits^{ 2 } _ {1} \frac{xdx}{ \sqrt{9 {x}^{2} - 4} } \\ \\ 9 {x}^{2} - 4 = t \\ 18xdx = dt \\ dx = \frac{dt}{18} \\ t_1 = 9 \times 4 - 4 = 32 \\ t_2 = 9 - 4 = 5 \\ \\ \frac{1}{18} \int\limits^{ 32 } _ {5} \frac{dx}{ \sqrt{t} } = \frac{1}{18} \int\limits^{3 2 } _ {5} {t}^{ - \frac{1}{2} } dt = \\ = \frac{1}{18} \times \frac{ {t}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } | ^{ 32 } _ {5} = \frac{1}{9} \sqrt{t} | ^{ 32 } _ {5} = \\ = \frac{ \sqrt{32} - \sqrt{5} }{9} = \frac{4 \sqrt{2} - \sqrt{5} }{9}$