Question

Дифференциальные уравнения. Помогите решить пожалуйста! 35 баллов

Answer 1

Ответ:

$y'+cos(x+2y)=cosx(x-2y)\ \ ,\ \ y(0)=\dfrac{\pi}{4}\\\\y'=cos(x-2y)-cosx(x+2y)\\\\y'=2\cdot sin\dfrac{(x-2y)+(x+2y)}{2}\cdot sin\dfrac{(x+2y)-(x-2y)}{2}\\\\\dfrac{dy}{dx}=2\cdot sinx\cdot sin2y\\\\\int \dfrac{dy}{sin2y}=2\int sinx\, dx\\\\\\\star \ \ \int\dfrac{dy}{sin2y}=\Big[\ t=tgy\ ,\ \ sin2y=\dfrac{2t}{1+t^2}\ ,\ y=arctgt\ ,\ dy=\dfrac{dt}{1+t^2}\ \Big]=\\\\\\=\int \dfrac{dt}{2t}=\dfrac{1}{2}\cdot ln|\, t\, |+C_1=\dfrac{1}{2}\cdot ln|\, tgy\, |+C_1\ \ \star$

$\dfrac{1}{2}\cdot ln|\, tgy\, |=-2\cdot cosx+C_2\\\\ln|\, tgy\, |=-4\, cosx+C\ \ ,\ \ C=2C_2\ ,\\\\tgy=e^{C-4\, cosx}\\\\\underline {\ y_{obshee}=arctg\Big(e^{C-4\, cosx}\Big)\ }\\\\\\y(0)=\dfrac{\pi}{4}:\ \ \ \dfrac{\pi}{4}=arctg\Big(e^{C-4}\Big)\ \ ,\ \ tg\dfrac{\pi}{4}=e^{C-4}\ \ ,\ \ 1=e^{C-4}\ \ ,\\\\C-4=ln1\ \ ,\ \ C-4=0\ \ ,\ \ C=4\\\\\\y_{chastnoe}=arctg\Big(e^{4-4cosx}\Big)\ \ ,\ \ \ y_{chastnoe}=arctg\Big(e^{4\, (1-cosx)}\Big)\ \ ,$

$\underline{\ y_{chastnoe}=arctg\Big(e^{8sin^2\frac{x}{2}}\Big)\ }$