Question

Вычислить определенные интегралы:

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{1}{2\pi}$

Пошаговое объяснение:

$\int\limits^{2\pi}_{\pi} {\dfrac{1-cosx}{(x-sinx)^{2}}} \, dx ;$

$d(x-sinx)=(x'-(sinx)')dx=(1-cosx)dx;$

$\int\limits^{2\pi}_{\pi} {\dfrac{1-cosx}{(x-sinx)^{2}}} \, dx = \int\limits^{2\pi}_{\pi} {\dfrac{(1-cosx)dx}{(x-sinx)^{2}}} \, = \int\limits^{2\pi}_{\pi} {\dfrac{d(x-sinx)}{(x-sinx)^{2}}} \, =$

$= \int\limits^{2\pi}_{\pi} {(x-sinx)^{-2}} \, d(x-sinx) = \dfrac{(x-sinx)^{-2+1}}{-2+1} \bigg |_{\pi}^{2\pi}=\dfrac{(x-sinx)^{-1}}{-1} \bigg |_{\pi}^{2\pi}=$

$=\dfrac{-1}{x-sinx} \bigg |_{\pi}^{2\pi}=\dfrac{-1}{2\pi-sin2\pi}-\dfrac{-1}{\pi-sin\pi}=\dfrac{-1}{2\pi-0}+\dfrac{1}{\pi-0}=\dfrac{1}{\pi}-\dfrac{1}{2\pi}=$

$=\dfrac{2}{2\pi}-\dfrac{1}{2\pi}=\dfrac{1}{2\pi};$