Question

Кто знает ответ на простой вопрос?
Есть простая задача. Упростить выражение:
$\sqrt{a+2\sqrt{2a-4}} - \sqrt{a-2\sqrt{2a-4}}$ при a>=4

Очевидно что выражение принимает следующий вид:
$\sqrt(\sqrt{2} + \sqrt{a-2} )^{2} } - \sqrt(\sqrt{2} - \sqrt{a-2} )^{2} }$

После сокращения квадратов и второй степени мы имеем:
$\sqrt{2} + \sqrt{a-2} - (\sqrt{2} - \sqrt{a-2} )$

После чего у меня получается: $2 \sqrt{a-2}$
Но ответ гласит: $2\sqrt{2}$
Кто знает почему меняем знак перед вторым выражением, имея:
$\sqrt{2} + \sqrt{a-2} + (\sqrt{2} - \sqrt{a-2})$ = $2\sqrt{2}$
??

Answer 1

$\sqrt{a + 2 \sqrt{2a - 4} } - \sqrt{a - 2 \sqrt{2a - 4} } = \sqrt{( \sqrt{2} + \sqrt{a - 2}) {}^{2} } - \sqrt{( \sqrt{2} - \sqrt{a - 2}) {}^{2} } = | \sqrt{2} + \sqrt{a - 2} | - | \sqrt{2} - \sqrt{a - 2} |$

Понятно, что $\sqrt{2}+\sqrt{a-2} \geqslant 0$ так как корни всегда положительны, а вот с разностью корней может быть проблема.

За условием, а ≥ 4, тогда $a - 2 \geqslant 2 \Rightarrow \sqrt{a-2} \geqslant \sqrt{2}$. Следовательно $\sqrt{2} - \sqrt{a-2} \leqslant 0$. Тогда модуль открываем со знаком минус:

$\sqrt{2} + \sqrt{a - 2} - ( - (\sqrt{2} - \sqrt{a - 2} )) = \sqrt{2} + \sqrt{a - 2} + \sqrt{2} - \sqrt{a - 2} = 2 \sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$.