Question

параметры: найдите наибольшее значение а, при котором уравнение (2а-3)х^4+(а+7)х^2-2а^2-14а=0 имеет единственное решение.

Answer 1

$(2a - 3) {x}^{4} + (a + 7) {x}^{2} - 2 {a}^{2} - 14a = 0$

Пусть $f(x)=(2a - 3) {x}^{4} + (a + 7) {x}^{2} - 2 {a}^{2} - 14a$

Очевидно, что функция f(x) чётная:

$f( - x) = (2a - 3) {( - x)}^{4} + (a + 7) {( - x)}^{2} - 2 {a}^{2} - 14a = (2a - 3) {x}^{4} + (a + 7) {x}^{2} - 2 {a}^{2} - 14a = f(x)$

Тогда если $x_{0}$ является решение, то и $-x_{0}$ – тоже решение. В таком если случае мы ищем единственное решение, то это только х = 0. Подставим в уравнение:

$- 2 {a}^{2} - 14a = 0 \\ 2 {a}^{2} + 14a = 0 \\ a = 0 \\ a = - 7$

Выполним проверку:

$a = 0 \\ - 3 {x}^{4} + 7 {x}^{2} = 0 \\ 3 {x}^{4} - 7 {x}^{2} = 0 \\ {x}^{2} (3 {x}^{2} - 7) = 0$

Понятно что в этом случае получаем 3 корня, поэтому а = 0 – не подходит. Проверим а = -7:

$- 17 {x}^{4} = 0 \\ {x}^{4} = 0 \\ x = 0$

В этом случае получаем действительно один корень, поэтому а = -7 – подходит.

Ответ: а = -7.