Question

20 БАЛОВ! СРОЧНО! У прямокутному трикутнику один із кутів дорівнює 15 градусів. Доведіть, що висота, проведена до гіпотенузи, у 4 рази менша від гіпотенузи.


В прямоугольном треугольнике один из углов равен 15 градусов. Докажите, что высота, проведенная к гипотенузе, в 4 раза меньше гипотенузы.

Answer 1

 Пусть данный треугольник - АВС. Угол С-90°, угол АВС=15°, СН - высота.  Доказать, что СН=АВ:4

———————————

  Проведем медиану СМ. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла,  равна половине гипотенузы. СМ=ВМ=АМ. ⇒ ∆ СМВ - равнобедренный.

  Из суммы углов треугольника  ∠ СМВ=180°-2•15°=150°  

В прямоугольном ∆ СМН смежный углу СМВ  угол СМН=180°-150°=30°.

По свойству катета, противолежащего углу 30°, СН=СМ:2.

Так как СМ=АВ:2, СН=(АВ:2):2=АВ:4. Доказано.