Question

найдите объем пирамиды в основании которой лежит параллелограмм с диагоналями 4 и 2 корней из 3 если угол между ними 30 градусов а высота пирамиды равна меньшей стороне основания

Answer 1

ABCD - параллелограмм, лежащий в основании пирамиды ABCDE.

Диагонали параллелограмма AC и BD пересекаются в точке О и этой точкой делятся пополам, т.е. AO = OC = 2, BO = OD = корень из 3.

Из треугольника AOB по теореме косинусов:

$\AB^2=AO^2+BO^2-2cdot AOcdot BOcdotcoshat{AOB}\AB^2=4+3-2cdot2cdotsqrt3cdotfrac{sqrt3}{2}=7-2cdotsqrt3cdotsqrt3=7-6=1\ AB=1$

AB = CD - меньшая строна параллелограмма, т.к. лежит против меньшего угла (угол AOB = 30⁰, угол BOC = 150⁰). То есть высота пирамиды OE = 1.

Площадь основания (параллелограмма):

$\S_{OCH}=frac12ACcdot BDcdotsinhat{AOB}=frac12cdot4cdot2sqrt3cdotfrac12=2sqrt3$

Объём пирамиды:

$\V=frac13S_{OCH}cdot h=frac13cdot2sqrt3cdot1=frac{2sqrt3}3$