Question

Найдите координаты точки О1 , равноудаленную от точек А(7;-1), В(-2;2) и С(-1;-5).​

Answer 1

Ответ:

$O_1 = (2;\ -1).$

Объяснение:

Пусть точка $O_1$ имеет координаты $(a;\ b)$. Указаны также точки $A(7;\ -1)$, $B(-2;\ 2)$ и $C(-1;\ -5)$. Требуется же найти координаты точки $O_1$, притом таким образом, чтобы она была равноудалена от точек $A$, $B$ и $C$.

Расстояние от точки $O_1$ до точки $A$ будет иметь такой вид: $\sqrt{(7-a)^2 + (-1-b)^2}$.

Расстояние от точки $O_1$ до точки $B$ будет иметь такой вид: $\sqrt{(-2-a)^2 + (2-b)^2}$.

Расстояние от точки $O_1$ до точки $C$ будет иметь такой вид:

$\sqrt{(-1-a)^2 + (-5-b)^2}$.

С этого момента допустимо оперировать квадратами расстояний вместо самих расстояний, так как от возведения обеих частей уравнений, которые мы получим позже, в квадрат получится полностью равносильное уравнение (ибо расстояние, очевидно, не может быть отрицательным).

Упростим все три выражения:

$1)\ \ (7-a)^2 +(-1-b)^2 = (7-a)^2 + (1+b)^2 =\\= 49 - 14a + a^2 +1 + 2b + b^2 =\\= 50 + a^2 + b^2 - 14a + 2b.$

$2)\ \ (-2-a)^2 + (2-b)^2 = (2+a)^2 + (2-b)^2 =\\= 4+4a+a^2+4-4b+b^2 =\\= 8 + a^2 + b^2 +4a - 4b.$

$3)\ \ (-1-a)^2 + (-5-b)^2 = (1+a)^2 + (5+b)^2 =\\= 1 + 2a +a^2 + 25 +10b + b^2 =\\= 26 + a^2 + b^2 +2a + 10b.$

Условие же равноудалённости требует, чтобы эти три выражения были равны. Получается, что нужно решить такое уравнение:

$50 + a^2 + b^2 - 14a + 2b = 8 + a^2 + b^2 + 4a - 4b = 26 + a^2 + b^2 + 2a + 10b$.

Уже здесь можно видеть, что к каждой части уравнения прибавлено выражение $a^2 + b^2$. Можно вычесть его из каждой части:

$50 - 14a + 2b = 8 + 4a - 4b = 26 + 2a + 10b$.

Применяя аксиому транзитивности отношения равенства ($\forall a, b, c,\ a = b\ \wedge\ b = c\ \Rightarrow\ a = c$), составим систему уравнений для нахождения $a$ и $b$:

$\left \{ {{50 -14a + 2b = 8 + 4a - 4b;} \atop {50-14a+2b = 26 + 2a + 10b.}} \right.$

Упростим её:

$\left \{ {{24 = 16a + 8b;} \atop {42 = 18a - 6b.}} \right.$

Поделим первое уравнение на $8$, а второе на $6$:

$\left \{ {{3=2a+b;} \atop {7=3a-b.}} \right.$

Решим систему методом сложения:

$2a + 3a + b - b = 7 + 3;\\5a = 10;\\a = 2.$

Отсюда находим $b$:

$b = 3 - 2a = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1.$

Обе координаты искомой точки найдены. Ответом станет задаваемая ими точка: $(2;\ -1).$