Question

Дана окружность с центром в точке A(3; 2). Окружность проходит через точку B(0; 0) и пересекает координатные оси в точках C и D. Найди площадь треугольника ABC. Ответ:кв.ед.

Answer 1

Ответ:

$\boxed{S_{зABC} = 6}$ квадратных единиц

Объяснение:

Так как точки B и C лежат на координатных осях и точка B - начало системы координат и так как оси двумерной декартовой системы координат перпендикулярны друг другу, то угол ∠DBC = 90°.

Так как точки D,B,C - принадлежат окружности по условию, то треугольник ΔCDB - вписан в окружность. По теореме если на дугу опирается угол 90°, то данная дуга является диметром, тогда так как угол ∠DBC = 90°, то CD - диаметр, следовательно точка A ∈ CD и является серединой отрезка так центр окружности делит диаметр на 2 радиуса.

По формуле расстояния между двумя точками:

$BA = \sqrt{(x_{A} - x_{B})^{2} + (y_{A} - y_{B})^{2}} = \sqrt{(3 - 0)^{2} + (2 - 0})^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} =$

$= \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.

Так как точка A - середина отрезка DC, то отрезок AB - медиана прямоугольного треугольника ΔCDB проведенная к гипотенузе, тогда по свойствам прямоугольного треугольника

AB = AC = AD = $\sqrt{13}$ см.

Так как точка С принадлежит координатной оси y, то абсцисса точки C равна нулю.

По формуле расстояния между двумя точками:

$CA = \sqrt{(x_{A} - x_{C})^{2} + (y_{A} - y_{C})^{2}} = \sqrt{(3 - 0)^{2} + (2 - x_{C}})^{2}} =$

$= \sqrt{3^{2} + 4 - 4x_{C} + x_{C}^{2}} = \sqrt{9 + 4 - 4x_{C} + x_{C}^{2}} = \sqrt{13 - 4x_{C} + x_{C}^{2}}$

$(AC)^{2} =( \sqrt{13 - 4x_{C} + x_{C}^{2}})^{2}$

$(\sqrt{13} )^{2} = 13 - 4x_{C} + x_{C}^{2}}$

$x_{C}^{2}} - 4x_{C} = 0; (x_{C} \neq 0 )$

$x_{C}(x_{C} - 4) = 0|: x_{C}$

$x_{C} = 4$

По формуле расстояния между двумя точками:

$BC = \sqrt{(x_{C} - x_{B})^{2} + (y_{C} - y_{B})^{2}} = \sqrt{(4 - 0)^{2} + (0 - 0)^{2}} =\sqrt{4^{2}} = 4$.

Из точки A проведем перпендикуляр к стороне BC в точку E. Так как треугольник ΔCAB - равнобедренный (AB = AC), то по теореме высота проведенная к основания является медианой и высотой, то есть точка E - середина отрезка BC, тогда по формуле середины отрезка:

$E \bigg ( \dfrac{x_{C} + X_{B}}{2};\dfrac{y_{C} + y_{B} }{2} \bigg) = E \bigg ( \dfrac{0 + 0}{2};\dfrac{4 +0 }{2} \bigg) = E(0;2)$.

По формуле расстояния между двумя точками:

$EA = \sqrt{(x_{A} - x_{E})^{2} + (y_{A} - y_{E})^{2}} = \sqrt{(3 - 0)^{2} + (2 - 2)^{2}} =\sqrt{3^{2}} = 3$.

По формуле площади треугольника:

$S_{зABC} = \dfrac{AE \cdot BC}{2} = \dfrac{3 \cdot 4}{2} = 3 \cdot 2 = 6$ квадратных единиц.