Question

Користуючись означенням, знайдіть похідну функції:
f(x) = 5х^2 + 1;​

Answer 1

$f(x) = 5 {x}^{2} + 1$

Означення похідної:

$f'(x) = \lim_{∆x \to 0} \frac{f(x_{0} + ∆x) - f(x_{0})}{∆x}$

$f'(x) = \lim_{∆x \to 0} \frac{(5(x _{0} + ∆x) {}^{2} + 1) - (5 {x_{0} }^{2} + 1) }{∆x} = \lim_{∆x \to 0} \frac{5( {x_{0}}^{2} + 2x_{0}∆x + (∆x) {}^{2} ) + 1 - 5x_{0} {}^{2} - 1 }{∆x} = \lim_{∆x \to 0} \frac{5x_{0} {}^{2} + 10x_{0}∆x + 5(∆x) {}^{2} - 5x_{0} {}^{2} }{∆x} = \lim _{∆x \to 0} \frac{10x_{0}∆x + 5(∆x) {}^{2} }{∆x} = \lim_{∆x \to0}(10x_{0} + 5∆x) = 10x_{0}$

Отже, за означення, похідна функції $f(x)=5x^{2}+1$ дорівнює $g(x)=10x$.