Question

Вычислить определенные интегралы
помогите пожалуйста =)
ответ дать письменный пж
​

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Ответ:

$1)\ \ \int\limits_0^{\pi }\, sinx\, dx=-cosx\Big|_0^{\pi }=-(cos\pi -cos0)=-(-1-1)=2\\\\\\2)\ \ \int\limits_0^{\pi /4}\, \dfrac{dx}{cos^2x}=tgx\, \Big|_0^{\pi /4}=tg\dfrac{\pi }{4}-tg0=1-0=1\\\\\\3)\ \ \int\limits_2^{5}\, \dfrac{dx}{x^2}=-\dfrac{1}{x}\, \Big|_2^5=-\Big(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{2}\Big)=-\dfrac{-3}{10}=0,3\\\\\\4)\ \ \int\limits_1^{2}\, 3(1+x^2)\, dx=3\cdot \Big(x+\dfrac{x^3}{3}\Big)\Big|_1^2=3\cdot \Big(2+\dfrac{8}{3}\Big)-3\cdot \Big(1+\dfrac{1}{3}\Big)=\\\\=6+8-3-1=10$

$5)\ \ \int\limits_1^{4}\, \sqrt{x}\, dx=\dfrac{2\, x^{3/2}}{3}\Big|_1^4=\dfrac{2}{3\,}\sqrt{x^3}\Big|_1^4=\dfrac{2}{3}\cdot (\sqrt{4^3}-\sqrt{1})=\dfrac{2}{3}\cdot (2^3-1)=\dfrac{14}{3}\\\\\\6)\ \ \int\limits_{-1}^{2}\, \dfrac{x\, dx}{(3+x^2)^3}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{-1}^{2}\, \dfrac{d(3+x^2)}{(x+x^2)^3}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{-1}{2(3+x^2)^2}\Big|_{-1}^2=-\dfrac{1}{4}\cdot \Big(\dfrac{1}{7^2}-\dfrac{1}{4^2}\Big)=\\\\\\=-\dfrac{1}{4}\cdot \Big(\dfrac{1}{49}-\dfrac{1}{16}\Big)=\dfrac{33}{3136}$

$7)\ \ \int\limits_1^{e}\, \dfrac{lnx}{x}\, dx=\int\limits_1^{e}\, lnx\cdot d(lnx)=\dfrac{ln^2x}{2}\Big|_1^{e}=\dfrac{1}{2}\cdot (ln^2e-ln^21)=\dfrac{1}{2}\cdot (1^2-0^2)=\dfrac{1}{2}$