Question

три заряда -2q, -q, +2q расположены в вершинах квадрата со стороной а. Определите результирующую напряжённость в точке А.

Answer 1

Дано:

-q

-2q

a

+2q

E(A) - ?

Присвоим точке с зарядом -q цифру 1, точке с зарядом +2q - цифру 2

Соответственно, точке с зарядом -2q - цифру 3.

Поскольку мы имеем несколько зарядов, результирующая напряженность будет векторной суммой напряженностей точки А относительно каждого заряда.

Изобразим напряжения на рисунке 1.

Стоит отметить, что расстояние между точкой 1 и А - a√2 как диагональ квадрата.

Из формулы напряжения:

$E = k\dfrac{|q|}{r^2}$

Запишем напряжения для точки А относительно каждой точки:

$E_1 = k\dfrac{q}{2a^2} \\E_2 = k\dfrac{2q}{a^2} \\E_3 = k\dfrac{2q}{a^2}$

Для удобства сумм векторов переместим векторы в точку А.

Вектор E₃ и Е₂ расположены под углом 90°

Поэтому узнаем их сумму.

Стоит заметить, что по правилу параллелограмма этот вектор будет расположен под углом 45° к сторонам (направленный влево вниз по диагонали). То есть, как диагональ квадрата. (см. рисунок 2.)

Поэтому числовое значение, как и было раньше, увеличится в √2 раз

$E_{23} = 2\sqrt{2} \:k\dfrac{q}{a^2}$

Для удобства, сделаем замену kq/a² = T. Исключительно для того, чтобы не переписывать всё время не меняющуюся дробь.

Итого - E₂₃ = 2√2 T

Рассмотрим E₂₃ и E₁. Они расположены по противоположным диагоналях одинаковых квадратов - пересекаются под углом 90°.

Используем теорему Пифагора для числового значения напряженности. Направление видно из рисунка 2. (вектор E₁₂₃)

$E(A) = E_{123} = \sqrt{E_1^2 + E_{23}^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4}T^2 + 8T^2}= \sqrt{\dfrac{33}{4}T^2 } = \dfrac{\sqrt{33} T}{2}$

Вернем из замены выражение и запишем окончательный ответ:

Ответ:

$E(A) = \dfrac{\sqrt{33} }{2} k \dfrac{q}{a^2}$. Направление напряженности на рисунке.