Question

1+log2(x-2)>log2(x^2-3x+2)
Otvet'te pzh​

Answer 1

$1+\log_2(x-2)>\log_2[(x-2)(x-1)]$

ОДЗ: $\left \{ {{x-2>0} \atop {(x-2)(x-1)>0}} \right.$

Поскольку из первого неравенства следует, что x>2, делаем вывод, что не только x-2>0, но и x-1>0, а тогда и (x-1)(x-2)>0. Окончательно, $x\in(2;+\infty).$

Поскольку логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов от сомножителей, можем исходное неравенство записать в виде $1+\log_2(x-2)>\log_2(x-2)+\log_2(x-1);\ \log_2(x-1)<1;$

$\log_2(x-1)<\log_22;\ x-1<2;\ x<3.$

Пересекая с ОДЗ, получаем

Ответ: $x\in(2;3).$

Замечание. Отбрасывание логарифмов без изменения смысла неравенства возможно, поскольку основание логарифмов больше 1.