Question

Исследовать функцию Z= x^2 + 2y^2 + 2xy + 4y-2 на экстремум​

Answer 1

$z'_x=(x^2 + 2y^2 + 2xy + 4y-2)'_x=2x+2y=2\cdot (x+y) \\ \\ z'_y=(x^2 + 2y^2 + 2xy + 4y-2)'_y=4y+2x+4=2\cdot (2y+x+2) \\ \\ \left \{ {{2\cdot (x+y)=0} \atop {2\cdot (2y+x+2)=0}} \right. \left \{ {{x+y=0} \atop {2y+x+2=0}} \right. \left \{ {{x=-y} \atop {2y-y=-2}} \right. \left \{ {{x=-(-2)} \atop {y=-2}} \right. \left \{ {{x=2} \atop {y=-2}} \right.$

Проверка:

$z''_{xy}=(2x+2y)'_y=2 \\ \\ z''_{yx}=(4y+2x+4)'_x=2$

$M_0(2;-2)$   -  стационарная точка

Проверка:

$z'_x(M_0)=z'_x(2;-2)=2\cdot (2-2)=0 \\ \\ z'_y(M_0)=z'_y(2;-2)=2\cdot (2\cdot (-2)+2+2)=2\cdot (-4+4)=0$

$A=z''_{xx}(M_0); \ \ B=z''_{xy}(M_0); \ \ C=z''_{yy}(M_0)$

$AC-B^2>0$   -   функция имеет экстремум в точке M0

$A>0$ - минимум, $A<0$ - максимум

$z''_{xx}=(2x+2y)'_x=2>0 \\ \\ z''_{xy}=(2x+2y)'_y=2 \\ \\ z''_{yy}=(4y+2x+4)'_y=4 \\ \\ 2\cdot 4 -2^2 =8-4=4>0$

В точке $M_0 (2;-2)$ функция имеет экстремум – минимум

$z_{min}=z(M_0)=z(2;-2)=2^2+2\cdot (-2)^2+2\cdot 2\cdot (-2)+4\cdot (-2)-2\\ \\ =4+8-8-8-2=-6$

$z_{min}=z(2;-2)=-6$