Question

Решить линейные однородные дифференциальные уравнения, удовлетворяющие
начальным условиям

Умоляю, помогите

Answer 1

Ответ:

$a = - 4 \\ b = 5$

$y'' - 4y' + 5y = 0$

$y = {e}^{kx} \\ e^{ kx}( {k}^{2} - 4 k + 5) = 0 \\ D= 16 - 20 = - 4 \\ k_1 = \frac{4 + \sqrt{ - 4} }{2} = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i \\ k_2 = 2 - i \\ y = {e}^{2x}( C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x))$

общее решение

$y(0) = \frac{ - 4 - 5}{2} = - \frac{9}{2} \\ y'(0) = \frac{5 - 4}{2} = \frac{1}{2}$

$y '= 2 {e}^{2x} (C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x) ) + {e}^{2x} (C_1 \cos(x) - C_2\sin(x) ) = \\ = {e}^{2x} ((2C_1 - C_2) \sin(x) + (2C_2 + C_1) \cos(x))$

$- \frac{9}{2} = {e}^{0} (C_1 \sin(0) + C_2 \cos(0)) \\ \frac{1}{2} = {e}^{0} = (2C_1 - C_2) \sin(0) + (2C_2 + C_1) \cos(0) ) \\ \\ - \frac{9}{2} = C_2 \\ \frac{1}{2} = C1 + 2C_2 \\ \\ C_2 = - \frac{9}{2} \\ C_1 = \frac{1}{2} - 2C_2 = \frac{1}{2} + 9 = \frac{19}{2}$

$y = {e}^{2x} ( \frac{19}{2} \sin(x) - \frac{9}{2} \cos(x))$

частное решение