Question

Найти три первых отличных от нуля разложения в степенной ряд задачи Коши

Answer 1

Ответ:

$y(x)=1+x+\frac{e+2}{2}x^2+....$

Пошаговое объяснение:

Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд задачи Коши , удовлетворяющего начальному условию

                  $y'=xe^y+y^2, \;\;\;y(0)=1$  

Будем искать решение уравнения в виде ряда Маклорена

$y(x)=y(0)+\frac{y'(0)}{1!}x+\frac{y"(0)}{2!}x^2+\frac{y'''(0)}{3!}x^3+.....$

По условию  y(0) = 1 и y'(0) = 0·e¹ + 1² = 1.

Продифференцировав обе части данного дифференциального уравнения, получим

$y''=e^y+x\cdot y'\cdot e^y+2y\cdot y', \;\;\;y''(0)=e^1+0\cdot 1\cdot e^1+2\cdot 1\cdot 1=2+e$

Следовательно,

$y(x)=1+\frac{1}{1!}x+\frac{e+2}{2!}x^2+....=1+x+\frac{e+2}{2}x^2+....$