Question

Найти довжина дуги (y-2) ^ 2 = x ^ 3
x в межах (1; 3)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

(y-2)²=x³   это полукубическая парабола

$\displaystyle y = \sqrt{x^3}+2$

$\displaystyle L=\int\limits^a_b {\sqrt{1+(f'(x))^2} } \, dx$

$\displaystyle y'=\frac{3\sqrt{x} }{2}$

$\displaystyle L=\int\limits^3_1 {\sqrt{1+\frac{9x}{4} } } \, dx =\left[\begin{array}{ccc}u=\displaystyle\frac{9x}{4}\quad du=\frac{9}{4} dx \\u_1=13/4\hfill\\u_2=31/4\hfill\end{array}\right] =\frac{4}{9} \int\limits^{31/4}_{13/4} {\sqrt{u} } \, du=$

$\displaystyle =\frac{8\sqrt{u^3} }{27} \bigg |_{13/4}^{31/4}=\frac{8}{27} \bigg (\sqrt{\bigg (\frac{31}{4} \bigg )^3 -\bigg (\frac{13}{4} \bigg )^3} \quad\bigg )=\frac{1}{27} (31\sqrt{31} -13\sqrt{13} )\approx 4.6$