В прямоугольном треугольнике АВС угол B прямой, ВС = 5, АC =10. Биссектрисы углов
АВС и АСВ пересекаются в точке О. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.
Ответы
Ответ:
∠BOC = 105°
Объяснение:
Дано: ∠ABC = 90°, ВС = 5, АC = 10; CF, BK - биссектрисы; CF ∩ BK = O
Найти: ∠BOC - ?
Решение:
Рассмотрим треугольник ΔABC.
Так как по условию BK - биссектриса, то по определению биссектрисы угол ∠ABK = ∠CBK = ∠ABC : 2 = 90° : 2 = 45°.
По теореме катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, тогда по следствию из данной теоремы, так как BC = AC : 2 = 10 : 2 = 5 и по условию BC = 5, тогда угол ∠BAC = 30°.
По теореме про сумму углов треугольника (ΔABC):
∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180° ⇒ ∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠BAC =
= 180° - 90° - 30° = 90° - 30° = 60°.
Так как по условию CF - биссектриса, то по определению биссектрисы угол ∠BCF = ∠ACF = ∠ACB : 2 = 60° : 2 = 30°.
Рассмотрим треугольник ΔBOC.
По теореме про сумму углов треугольника:
∠CBK + ∠FCB + ∠BOC = 180° ⇒ ∠BOC = 180° - ∠CBK - ∠FCB =
= 180° - 45° - 30° = 105°.
