Question

вычислить площадь фигуры ограниченной заданными линиями y^2=x^3 , x=2

Answer 1

$y^2=x^3 \\ \\ y=\pm x^\frac{3}{2}=\pm \sqrt{x^3} \\ \\ \\ \\ \sqrt{x^3}=-\sqrt{x^3} \\ \\ 2\sqrt{x^3}=0 \\ \\ \sqrt{x^3}=0 \\ \\ x=0 \\\\ y=\pm\sqrt{0^3}=0$

$\int\limits^2_0 {(\sqrt{x^3}-(-\sqrt{x^3}))} \, dx =\int\limits^2_0 {2\sqrt{x^3}} \, dx =2\int\limits^2_0 {x^\frac{3}{2}} \, dx =2\cdot (\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}})|^2_0=2\cdot \frac{2}{5}\cdot x^\frac{5}{2}|^2_0= \\ \\ = \frac{4}{5}\cdot ((2^\frac{5}{2})-0)=\frac{4}{5}\cdot \sqrt{2^5}=\frac{4}{5}\cdot \sqrt{32}=\frac{4}{5}\cdot \sqrt{16\cdot 2}=\frac{4}{5}\cdot4=\sqrt{2}=\frac{16\sqrt{2}}{5} \ cm^2$