Question

100 баллов !!!!
При каких значениях а имеет решения уравнение:
Sin^2x-(4a-9)sin x + (a-5)(3a-4)=0

Answer 1

$\displaystyle sin^2x-(4a-9)sinx+(a-5)(3a-4)=0$

чтобы уравнение имело решение необходимо выполнение ДВУХ условий

D≥0 и корни получившиеся корни должны лежать на отрезке [-1;1]

1) проверим D

$\displaystyle D=(4a-9)^2-4*1*(a-5)(3a-4)=16a^2-72a+81-4(3a^2-19a+20)=\\\\=4a^2+4a+1=(2a+1)^2$

Для любых a выполняется условие D≥0

2) проверим корни

первый случай:

$\displaystyle sinx=\frac{(4a-9)+(2a+1)}{2}=\frac{6a-8}{2}=3a-4\\\\-1\leq 3a-4\leq 1\\\\3\leq 3a\leq 5\\\\1\leq a\leq 5/3$

второй случай

$\displaystyle sinx=\frac{4a-9-(2a+1)}{2}=\frac{4a-9-2a-1}{2}=\frac{2a-10}{2}=a-5\\\\-1\leq a-5\leq 1\\\\4\leq a\leq 6$

тогда при а∈[1;5/3]∪[4;6]