Question

Для квадратного трехчлена `3x^2-3sqrt2x+13` выделите полный квадрат (квадрат двучлена), найдите наименьшее значение, а также укажите, при каких `x` оно достигается.

Answer 1

$3x^2-3\sqrt{2}x+13 \\ \\ 3\cdot (x^2-\sqrt{2}x+\frac{13}{3})=0 \\ \\ 3\cdot (x^2 -2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}x+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{23}{6})=0 \\ \\ 3\cdot ((x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+\frac{23}{6})=0\\ \\ 3\cdot (x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 +\frac{23}{2}=0$

$y=a\cdot (x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$

a > 0 - ветви параболы направленны вверх

наименьшее значение достигается в вершине параболы:

$(-\frac{b}{2a};-\frac{b^2-4ac}{4a}) \\ \\ (\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{23}{2})$

Наименьшее значение достигается в точке $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ и равно $\frac{23}{2}$