Question

В правильной четырёхугольной призме АВСDА1В1С1D1 сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3 корень из 2.
На ребрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C1L = 5.
Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая AC1 перпендикулярна плоскости γ.
б) Найдите расстояние от точки B1 до плоскости γ.

Answer 1

Пусть B1 - Начало координат

Ось X  - B1C1

Ось Y - B1A1

Ось Z - B1B

Координаты точек

K ( 4;0;3√2)

L ( 6;5;0)

A (0;6;3√2)

C1 ( 6;0;0)

Вектор

AC1 ( 6;-6;-3√2)

BD  (6;6;0)

Уравнение плоскости y

ax+by+cz+d = 0

Плоскость содержит точки K и L

4a+3√2c+d=0

6a+5b + d =0

Условие параллельности прямой BD

6a+6b =0

Пусть d= 1 Тогда a= -1 b =1 c= 1/√2

Уравнение плоскости y

-x+y+z/√2+1=0

Нормальное уравнение

k= √(1+1+1/2) = √(5/2)

-x / k + y / k + z / (√2k) + √10/5 =0

Нормальный  вектор плоскости y

N(-1;1;1/√2)  или N (6;-6;-3√2)

a)  плоскость y перпендикулярна AC1 - так как нормальный вектор к плоскости N совпадает с АС1

б) Расстояние от начала координат B1(0;0;0) до плоскости y равно √10/5 - свободному члену в нормальном ее уравнении.