Question

Площадь голубого треугольника равна 1. Его стороны продолжили так, как показано на рисунке и получили точки A, B и C. Найдите площадь треугольника ABC​

Answer 1

Ответ:

$\boxed{S_{ABC} = 7}$

Примечание:

Пусть вершины голубого треугольника это точки K, T, F как показано на рисунке.

По условию: $\boxed{S_{зKTF} = 1}$

Так как на рисунке показаны равны отрезки, то соответственно по уже ранние введенным обозначениям, пусть:

AK = KT = a

BF = FK = b

CT = TF = c

Пусть углы имею соответствующие обозначения:

∠KTF = α

∠FKT = β

∠TFK = γ

Лемма: Синусы смежных углов равны

На рисунке (лемма) углы ∠AOC и ∠BOC - смежные углы.

Пусть ∠AOC = α и ∠BOC = β.

По свойству смежных углов: α + β = 180° ⇒ β = 180° - α

По формуле приведения: $\boxed{ \sin \phi = \sin (180^{\circ} - \phi)}$

$\sin \beta = \sin (180^{\circ} - \alpha ) = \sin \alpha$

Ч.Т.Д

Объяснение:

Дано: AK = KT = a, BF = FK = b, CT = TF = c, ∠KTF = α, ∠FKT = β,

∠TFK = γ, $S_{зKTF} = 1$

Найти: $S_{зABC} \ - \ ?$

Решение:

Пары углов: ∠BKT и ∠BKA, ∠CFK и ∠CFB, ∠ATF и ∠ATC - пары смежных углов, тогда по лемме:

sin ∠BKT = sin ∠BKA, sin ∠CFK = sin ∠CFB, sin ∠ATF = sin ∠ATC

Площадь треугольника можно посчитать как полупроизведение двух сторон на синус угла между этими сторонами.

Выразим площадь треугольника ΔKTF через разные стороны и углы и составим систему уравнений:

$\left \{\begin{array}{l} S_{зKTF} = 0,5 \cdot KT \cdot TF \cdot \sin \angle KTF = 0,5 \cdot ac\sin \alpha = 1 \\ S_{зKTF} = 0,5 \cdot KF \cdot KT \cdot \sin \angle FKT = 0,5 \cdot ab \sin \beta = 1 \\ S_{зKTF} = 0,5 \cdot FK \cdot FT \sin \angle KFT = 0,5 \cdot bc \sin \gamma = 1 \end{array} \right$

По основному свойству отрезка:

AT = AK + KT = a + a = 2a.

BK = BF + FK = b + b = 2b.

CF = CT + TF = c + c = 2c.

Распишем площади треугольников ΔATC, ΔBFC, ΔABK:

$S_{зATC} = 0,5 \cdot AT \cdot TC \cdot \sin \angle ATC = 2 \cdot 0,5 \cdot ac \cdot \sin \alpha = 2 \cdot 1 = 2$

$S_{зBFC} = 0,5 \cdot BF \cdot FC \cdot \sin \angle BFC = 2 \cdot 0,5 \cdot bc \cdot \sin \gamma = 2 \cdot 1 = 2$

$S_{зAKB} = 0,5 \cdot AK \cdot BK \cdot \sin \angle AKB = 2 \cdot 0,5 \cdot ab \cdot \sin \beta = 2 \cdot 1 = 2$

Треугольник ΔABC состоит из треугольников:

ΔATC, ΔBFC, ΔAKB, ΔKTF.

$S_{зABC} = S_{зATC} + S_{зBFC} + S_{зAKB} + S_{зKTF} = 2 + 2 + 2 + 1 = 6 +1 = 7$.