Question

Нужна помощь в вычислении следующих интегралов

Answer 1

Ответ:

1

$\int\limits \frac{1 - 3x}{2x + 3} dx = \int\limits( \frac{dx }{2x + 3} -\int\limits \frac{3xdx}{2x + 3} ) = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(2x)}{2x + 3} - 3 \times \frac{1}{2} \int\limits \frac{2xdx}{2x + 3} = \\ = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(2x + 3)}{2x + 3} - \frac{3}{2} \int\limits \frac{2x + 3- 3}{2x + 3} dx = \\ = \frac{1}{2} ln |2x + 3 | - \frac{3}{2}( \int\limits \: dx - 3\int\limits \frac{dx}{2x + 3} ) = \\ = \frac{1}{2} ln |2x + 3| - \frac{3}{2} x + \frac{9}{2} \times \frac{1}{2} ln |2x + 3| + C= \\ = \frac{11}{2} ln |2x +3 | - \frac{3x}{2} + C$

2

$\int\limits \frac{6x - 1}{ \sqrt{1 - 3x} } dx \\ \\ \text{Замена:} \\ 1 - 3x = t \\3x = 1 - t \\ 6x = 2(1 - t)\\ - 3dx = dt \\ dx = - \frac{dt}{3} \\ \\ - \frac{1}{3} \int\limits \frac{2 - 2t + 1}{ \sqrt{t} } dt = \frac{1}{3} \int\limits \frac{2t - 1}{ \sqrt{t} } dt = \\ = \frac{1}{3}\int\limits ( \frac{2t}{ \sqrt{t} } - \frac{1}{ \sqrt{t} } )dt = \frac{1}{3} \int\limits(2 \sqrt{t} - {t}^{ - \frac{1}{2} }) dt = \\ = \frac{2}{3} \times \frac{ {t}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } - \frac{1}{3} \times \frac{ { t}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + C = \\ = \frac{4}{9} t \sqrt{t} - \frac{2}{3} \sqrt{t} + C = \\ = \frac{4}{9} \sqrt{ {(1 - 3x)}^{3} } - \frac{2}{3} \sqrt{1 - 3x} + C$

3

$\int\limits \frac{2x + 3}{2x + 1} dx= \int\limits\frac{2x + 1 + 2}{2x + 1} dx = \\ = \int\limits \: dx + \int\limits\frac{2dx}{2x + 1} = x + \int\limits \frac{d(2x + 1)}{2x + 1} = \\ = x + ln |2x + 1| + C$