Question

Найдите наибольшее значение функции y = 2sin3x+cos3x


Помогите пожалуйста
Желательно что бы все было расписано ​

Answer 1

Для преобразования выражения воспользуемся следующим приемом:

$A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2} \left(\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2} } \sin x+\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2} }\cos x\right)$

Введем обозначения:

$\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2} }=\cos\varphi;\ \dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2} }=\sin\varphi$

Тогда, получим формулу:

$A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2} \left(\sin x\cos\varphi+\sin\varphi\cos x\right)=\sqrt{A^2+B^2} \sin (x+\varphi)$

Или:

$A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2} \sin\left(x+\arcsin\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2} }\right)$

Рассмотрим заданную функцию:

$y = 2\sin3x+\cos3x$

Преобразуем:

$y = \sqrt{2^2+1^2} \left(\dfrac{2}{\sqrt{2^2+1^2}} \sin3x+\dfrac{1}{\sqrt{2^2+1^2}} \cos3x\right)$

$y = \sqrt{5} \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}} \sin3x+\dfrac{1}{\sqrt{5}} \cos3x\right)$

Введя обозначения $\cos\alpha =\dfrac{2}{\sqrt{5}} ;\ \sin\alpha =\dfrac{1}{\sqrt{5}}$, получим:

$y = \sqrt{5} \left(\sin3x\cos\alpha +\sin\alpha \cos3x\right)$

$y = \sqrt{5} \sin(3x+\alpha)$

Зная, что синус принимает значения из отрезка от -1 до 1, найдем область значений функции:

$-1\leqslant \sin(3x+\alpha)\leqslant 1$

$-\sqrt{5}\leqslant \sqrt{5} \sin(3x+\alpha)\leqslant \sqrt{5}$

Тогда, наибольшее значение функции:

$y_{\max}=\sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$