Question

Нужно подробное решение с вычислением интеграла

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{1 - 2x}{5 {x}^{2} - 1 } dx = - \int\limits \frac{2x - 1}{5 {x}^{2} - 1 } dx = \\ = - \int\limits \frac{2xdx}{5 {x}^{2} - 1 } + \int\limits \frac{dx}{5 {x}^{2} - 1 } \\ \\ 1) - \int\limits \frac{2xdx}{5 {x}^{2} - 1} \\ \\ 5 {x}^{2} - 1 = t \\ (5 {x}^{2} - 1)'dx = dt \\ 10xdx = dt \\ 2xdx = \frac{dt}{5} \\ \\ - \frac{1}{5} \int\limits \frac{dt}{t} = - \frac{1}{5} ln |t| + C = \\ = - \frac{1}{5} ln |5 {x}^{2} - 1 | + C \\ \\ 2)\int\limits \frac{dx}{5 {x}^{2} - 1 } = \int\limits \frac{dx}{ {( \sqrt{5}x) }^{2} - {1}^{2} } = \\ = \frac{1}{ \sqrt{5} } \int\limits \frac{d( \sqrt{5} x)}{ {( \sqrt{5}x) }^{2} - {1}^{2} } = \\ = \frac{1}{ \sqrt{5} } \times \frac{1}{2} ln | \frac{ \sqrt{5}x - 1 }{ \sqrt{5} x + 1} | + C \\ \\ \text{В итоге:} \\ = - \frac{1}{5} ln |5 {x}^{2} - 1 | + \frac{1}{2 \sqrt{5} } ln | \frac{ \sqrt{5}x - 1 }{ \sqrt{5} x + 1 } | + C$