Question

Решите дифференциальные уравнения

Answer 1

Ответ:

$1)2(x + 1)dy = ydx \\ \int\limits \frac{dy}{y} = \frac{1}{2} \int\limits \frac{dx}{x + 1} \\ ln |y| = \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( x + 1)}{x + 1} \\ ln |y| = \frac{1}{2} ln |x + 1| + ln |C| \\ y + 1 = C \sqrt{x + 1}$

общее решение

$2)xy'= 2 \sqrt{3 {x}^{2} + {y}^{2} } + y \: \: \: | \div {x} \\ y' = 2 \sqrt{ \frac{3 {x}^{2} + {y}^{2} }{{x}^{2} } } + \frac{y}{x} \\ y' = 2 \sqrt{3 + \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } } + \frac{y}{x} \\ \\ \frac{y}{x} = u \\ y' = u'x + u \\ \\ u'x + u = 2 \sqrt{3 + {u}^{2} } + u \\ \frac{du}{dx} x = 2 \sqrt{3 + {u}^{2} } \\ \int\limits \frac{du}{ \sqrt{3 + {u}^{2} } } =2 \int\limits \frac{dx}{x} \\ \int\limits \frac{du}{ \sqrt{ {( \sqrt{3}) }^{2} + {u}^{2} } } = 2ln |x| + ln |c| \\ ln |u + \sqrt{3 + {u}^{2} } | = ln |C {x}^{2} | \\ u + \sqrt{3 + {u}^{2} } = C {x}^{2} \\ \frac{y}{x} + \sqrt{3 + \frac{ {y}^{2} }{ {x}^{2} } } = Cx {}^{2}$

общее решение

$3)y'' - 10y' + 25y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ {e}^{kx}( k {}^{2} - 10 k + 25) = 0 \\ {(k - 5)}^{2} = 0\\ k_1 = k_2 = 5 \\ y = C_1 {e}^{5x} + C_2 {e}^{5x} x$

общее решение

$y(0) = 1,y'(0) = 8$

$y' = 5C_1 {e}^{5x} + 5C_2 {e}^{5x} x + C_2 {e}^{5x}$

$\left \{ {{C_1 = 1} \atop {5C_1 + C_ 2= 8} } \right. \\ \\ \left \{ {{C_1 = 1} \atop {C_2 = 8 - 5C_1 = 3} } \right.$

$y = {e}^{5x} + 3 {e}^{5x} x = {e}^{5x} (3x + 1)$

частное решение