Question

Помогите интегрировать дробь

Answer 1

Ответ:

$\int\limits \frac{ {x}^{3}dx }{(x - 1)(x + 1)(x + 2)} = \int\limits \frac{ {x}^{3} dx}{( {x}^{2} - 1)(x + 2) } = \\ = \int\limits \frac{ {x}^{3} }{ {x}^{3} + 2 {x}^{2} - x - 2 } dx$

Разделим числитель на знаменатель:

$\int\limits(1 + \frac{ - 2 {x}^{2} + x + 2}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)} )dx = \\ = \int\limits \: dx - \int\limits \frac{2 {x}^{2} - x - 2 }{(x - 1)(x + 1)(x + 2} dx \\ \\ 1)\int\limits \: xdx = x + c \\ \\ 2)\int\limits \frac{2 {x}^{2} - x - 2}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)} dx$

С помощью неопределенных коэффициентов разделим на простейшие дроби:

$\frac{2 {x}^{2} - x - 2 }{(x - 1)(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 2} \\ 2 {x}^{2} - x - 2 =A(x + 1)(x + 2) + B(x - 1)(x + 2) + C(x - 1)(x + 1) \\ 2 {x}^{2} - x - 2 = A( {x}^{2} + 2x + x + 2) + B( {x}^{2} + 2x - x - 2) +C ( {x}^{2} - 1) \\ 2 {x}^{2} - x - 2 = A {x}^{2} + 3Ax + 2A + B {x}^{2} + Bx - 2 B+ C {x}^{2} - C \\ \\ \begin{cases}2 = A + B + C& \\ - 1 = 3A + B& \\ - 2 = 2A - 2B - C\end{cases} \\ \\ \begin{cases}B = - 1 - 3A& \\2 = A - 1 - 3A + C& \\ - 2 = 2A + 2 + 6A - C\end{cases} \\ \\ \begin{cases}B = - 1 - 3A& \\C = 3 + 2A& \\ 8A + 4 - 3 - 2A = 0\end{cases} \\ \\ 6A= - 1 \\ A= - \frac{1}{6} \\ \\ \begin{cases}A= - \frac{1}{6} & \\C = \frac{8}{3} & \\ B = - \frac{1}{2} \end{cases} \\ \\ \int\limits \frac{( - \frac{1}{6})dx }{x - 1} + \int\limits \frac{( - \frac{1}{2})dx }{x + 1} + \int\limits \frac{ \frac{8}{3} }{x + 2} = \\ = - \frac{1}{6} \int\limits \frac{d( x - 1)}{x - 1} - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(x + 1)}{x + 1} + \frac{8}{3} \int\limits \frac{d(x + 2)}{x + 2} = \\ = - \frac{1}{6} ln |x - 1| - \frac{1}{2} ln |x + 1| + \frac{8}{3} ln |x + 2| + C$

В итоге:

$x - \frac{1}{6} ln |x - 1| - \frac{1}{2} ln |x + 1| + \frac{8}{3} ln |x + 2| + C$