Question

Докажите тождество:
$(x - 1)( {x}^{n - 1} + {x}^{n - 2} + ... + 1) = { x}^{n} - 1$
где n натуральное число больше1​

Answer 1

Раскроем скобки:

$(x - 1)(x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... +x+ 1)=$

$=x(x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... +x+ 1)-(x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... +x+ 1)=$

$=x^n + x^{n - 1} + ... +x^2+ x-x^{n - 1} - x^{n - 2} - ...-x- 1$

Заметим, что все слагаемые, кроме первого и последнего взаимно уничтожаются:

$x^n + x^{n - 1} + ... +x^2+ x-x^{n - 1} - x^{n - 2} - ...-x- 1=$

$=x^n +( x^{n - 1} + ... +x^2+ x)+(-x^{n - 1} - x^{n - 2} - ...-x)- 1=x^n-1$