Question

Вычислить длину дуги:

Answer 1

Ответ:

$l = \int\limits^{ a } _ {b} \sqrt{1 + {(y')}^{2} } dx$

$y' = x - \frac{1}{2x}$

$l = \int\limits^{ 2 } _ {1} \sqrt{1 + {(x - \frac{1}{2x}) }^{2} } dx = \int\limits^{ 2 } _ {1} \sqrt{1 + ( \frac{2 {x}^{2} - 1 }{2x} ) {}^{2} } dx = \\ = \int\limits^{ 2 } _ {1} \sqrt{1 + \frac{ {(2 {x}^{2} - 1)}^{2} }{4 {x}^{2} } } dx = \int\limits^{ 2 } _ {1} \sqrt{ \frac{4 {x}^{2} + 4 {x}^{4} - 4 {x}^{2} + 1 }{4 {x}^{2} } } dx = \\ = \int\limits^{ 2 } _ {1} \frac{ \sqrt{4 {x}^{4} + 1 } }{2x} dx \\ \\ \sqrt{4 {x}^{4} + 1} = t \\ \frac{16 {x}^{3} }{2 \sqrt{4 {x}^{4} + 1} } dx = dt \\ dx = \frac{ \sqrt{4 {x}^{4} + 1} }{8 {x}^{3} } dt \\ \frac{dx}{x} = \frac{ \sqrt{4 {x}^{4} + 1} }{8 {x}^{4} } dt \\ {x}^{4} = \frac{ {t}^{2} - 1}{4} \\ \frac{dx}{x} = \sqrt{4 {x}^{4} + 1} dt \times \frac{4}{8 ({t}^{2} - 1) } \\ \frac{dx}{x} = \frac{tdt}{2( {t}^{2} - 1)} \\ t1 = \sqrt{4 \times 16 + 1} = \sqrt{65} \\ t2 = \sqrt{4 \times 1 + 1} = \sqrt{5} \\ \\ \int\limits^{ \sqrt{65} } _ { \sqrt{5} } \frac{t \times tdt}{2(t {}^{2} - 1)} = \frac{1}{2} \int\limits^{ \sqrt{65} } _ { \sqrt{5} } \frac{ {t}^{2} - 1 + 1 }{ {t}^{2} - 1 } dt = \\ = \frac{1}{2} \int\limits^{ \sqrt{65} } _ { \sqrt{5} } \: dt + \frac{1}{2} \int\limits^{ \sqrt{65} } _ { \sqrt{5} } \frac{dt}{t {}^{2} - 1 } = \\ = (\frac{1}{2} t + \frac{1}{4} ln | \frac{t - 1}{t + 1} | ) |^{ \sqrt{65} } _ { \sqrt{5} } = \\ = \frac{ \sqrt{65} }{2} + \frac{1}{4} ln | \frac{ \sqrt{65} - 1 }{ \sqrt{65} + 1} | - \frac{ \sqrt{5} }{2} - \frac{1}{4} ln | \frac{ \sqrt{5} - 1}{ \sqrt{5} + 1} | = \\ = \frac{ \sqrt{65} - \sqrt{5} }{2} + \frac{1}{4} ln( \frac{( \sqrt{65} - 1)( \sqrt{5} + 1) }{( \sqrt{65} + 1)( \sqrt{5} - 1} )$