Question

Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння y''+y=4xe^x

Answer 1

решить дифф.уравнение

$\displaystyle y``+y=4xe^{x}$

1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

$\displaystyle y``+y=0$

Составим и решим характеристическое уравнение:

$\displaystyle v^2+1=0\\\\v^2=-1\\\\v= \pm i$

мы получили сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому общее решение:

$\displaystyle Y=C_1cosx+C_2sinx$

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

$\displaystyle y=(Ax+B)*e^x$

тогда

$\displaystyle y`=A*e^x+(Ax+b)*e^x=e^x(Ax+A+B)\\\\y``=e^x(Ax+A+B)+e^x*A=e^x(Ax+2A+B)$

Подставим y`` и y в левую часть неоднородного уравнения

$\displaystyle e^x(Ax+2A+B)+e^x(Ax+B)=4x*e^x |:e^x\\\\Ax+2A+B+Ax+B=4x\\\\2Ax+2A+2B=4x\\\\2Ax=4x; A=2\\\\2A+2B=0; B=-2$

таким образом

$\displaystyle y=(2x-2)e^x$

Запишем общее решение

$\displaystyle y=C_1cosx+C_2sinx+(2x-2)e^x$