Question

Математика. ХЕЛП 50 Баллов

Answer 1

Ответ:

1

${x}^{2} dx + (y - 1)dy = 0 \\ \int\limits(y - 1)dy = \int\limits{x}^{2} dx \\ \frac{ {y}^{2} }{2} - y = \frac{ {x}^{3} }{3} + C \\ {y}^{2} - 2y = \frac{2 {x}^{3} }{3} + C$

общее решение

2

$\frac{dy}{dx} = 1 - {y}^{2} \\ \int\limits \frac{dy}{1 - {y}^{2} } =\int\limits dx \\ \frac{1}{2} ln | \frac{1 - y}{1 + y} | = x + C \\ ln | \frac{1 - y}{1 + y} | = 2x + C$

общее решение

3

$\frac{dy}{5 \sqrt{y} } = dx \\ \frac{1}{5} \int\limits {y}^{ - \frac{1}{2} } dy = \int\limits \: dx \\ \frac{1}{5} \times \frac{ {y}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } = x + C \\ \frac{2}{5} \sqrt{y} = x + C$

общее решение

4

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \\\int\limits \frac{dy}{y} = \int\limits \frac{dx}{dy} \\ ln |y| = ln |x| + ln |C| \\ ln |y| = ln |Cx| \\ y = Cx$

общее решение

5

$(1 + {x}^{2} )dy + ydx = 0 \\ (1 + {x}^{2} )dy = - ydx \\ \int\limits \frac{dy}{y} = - \int\limits \frac{dx}{1 + {x}^{2} } \\ ln |y| = - arctg(x) + C$

общее решение

6

$x( {y}^{2} - 4)dx + ydy = 0 \\ ydy = - x( {y}^{2} - 4) dx \\ \int\limits \frac{ydy}{ {y}^{2} - 4 } = - \int\limits \: xdx \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{2ydy}{ {y}^{2} - 4} = - ln |x| + ln |C| \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {y}^{2} - 4) }{ {y}^{2} - 4 } = ln | \frac{C}{x} | \\ \frac{1}{2} ln | {y}^{2} - 4 | = ln | \frac{C}{x} | \\ {y}^{2} - 4 = \frac{C}{x}$

общее решение

7

$(x - 8)dy = - {y}^{2} dx \\ \int\limits \frac{dy}{ {y}^{2} } = - \int\limits \frac{dx}{x - 8} \\ \frac{ {y}^{ - 1} }{ - 1} = - \int\limits\frac{d(x - 8)}{x - 8} \\ - \frac{1}{y} = - ln |x - 8| + C \\ \frac{1}{y} = ln |x - 8| + C$

общее решение

8

$\frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x + 1} \\ \int\limits \frac{dy}{y - 1} = \int\limits \frac{dx}{x + 1} \\ \int\limits \frac{d(y - 1)}{y - 1} = \int\limits \frac{d(x + 1)}{x + 1} \\ ln |y - 1| = ln |x + 1| + ln |C| \\ y - 1 = C(x + 1)$

общее решение

Answer 2

Ответ:

x

2

dx+(y−1)dy=0

∫(y−1)dy=∫x

2

dx

2

y

2

−y=

3

x

3

+C

y

2

−2y=

3

2x

3

+C

общее решение

2

\begin{gathered} \frac{dy}{dx} = 1 - {y}^{2} \\ \int\limits \frac{dy}{1 - {y}^{2} } =\int\limits dx \\ \frac{1}{2} ln | \frac{1 - y}{1 + y} | = x + C \\ ln | \frac{1 - y}{1 + y} | = 2x + C\end{gathered}

dx

dy

=1−y

2

∫

1−y

2

dy

=∫dx

2

1

ln∣

1+y

1−y

∣=x+C

ln∣

1+y

1−y

∣=2x+C

общее решение

3

\begin{gathered} \frac{dy}{5 \sqrt{y} } = dx \\ \frac{1}{5} \int\limits {y}^{ - \frac{1}{2} } dy = \int\limits \: dx \\ \frac{1}{5} \times \frac{ {y}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } = x + C \\ \frac{2}{5} \sqrt{y} = x + C\end{gathered}

5

y

dy

=dx

5

1

∫y

−

2

1

dy=∫dx

5

1

×

2

1

y

2

1

=x+C

5

2

y

=x+C

общее решение

4

\begin{gathered} \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \\\int\limits \frac{dy}{y} = \int\limits \frac{dx}{dy} \\ ln |y| = ln |x| + ln |C| \\ ln |y| = ln |Cx| \\ y = Cx\end{gathered}

dx

dy

=

x

y

∫

y

dy

=∫

dy

dx

ln∣y∣=ln∣x∣+ln∣C∣

ln∣y∣=ln∣Cx∣

y=Cx

общее решение

5

\begin{gathered}(1 + {x}^{2} )dy + ydx = 0 \\ (1 + {x}^{2} )dy = - ydx \\ \int\limits \frac{dy}{y} = - \int\limits \frac{dx}{1 + {x}^{2} } \\ ln |y| = - arctg(x) + C\end{gathered}

(1+x

2

)dy+ydx=0

(1+x

2

)dy=−ydx

∫

y

dy

=−∫

1+x

2

dx

ln∣y∣=−arctg(x)+C

общее решение

6

\begin{gathered}x( {y}^{2} - 4)dx + ydy = 0 \\ ydy = - x( {y}^{2} - 4) dx \\ \int\limits \frac{ydy}{ {y}^{2} - 4 } = - \int\limits \: xdx \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{2ydy}{ {y}^{2} - 4} = - ln |x| + ln |C| \\ \frac{1}{2} \int\limits \frac{d( {y}^{2} - 4) }{ {y}^{2} - 4 } = ln | \frac{C}{x} | \\ \frac{1}{2} ln | {y}^{2} - 4 | = ln | \frac{C}{x} | \\ {y}^{2} - 4 = \frac{C}{x} \end{gathered}

x(y

2

−4)dx+ydy=0

ydy=−x(y

2

−4)dx

∫

y

2

−4

ydy

=−∫xdx

2

1

∫

y

2

−4

2ydy

=−ln∣x∣+ln∣C∣

2

1

∫

y

2

−4

d(y

2

−4)

=ln∣

x

C

∣

2

1

ln∣y

2

−4∣=ln∣

x

C

∣

y

2

−4=

x

C

общее решение

7

\begin{gathered}(x - 8)dy = - {y}^{2} dx \\ \int\limits \frac{dy}{ {y}^{2} } = - \int\limits \frac{dx}{x - 8} \\ \frac{ {y}^{ - 1} }{ - 1} = - \int\limits\frac{d(x - 8)}{x - 8} \\ - \frac{1}{y} = - ln |x - 8| + C \\ \frac{1}{y} = ln |x - 8| + C\end{gathered}

(x−8)dy=−y

2

dx

∫

y

2

dy

=−∫

x−8

dx

−1

y

−1

=−∫

x−8

d(x−8)

−

y

1

=−ln∣x−8∣+C

y

1

=ln∣x−8∣+C

общее решение

8

\begin{gathered} \frac{dy}{dx} = \frac{y - 1}{x + 1} \\ \int\limits \frac{dy}{y - 1} = \int\limits \frac{dx}{x + 1} \\ \int\limits \frac{d(y - 1)}{y - 1} = \int\limits \frac{d(x + 1)}{x + 1} \\ ln |y - 1| = ln |x + 1| + ln |C| \\ y - 1 = C(x + 1)\end{gathered}

dx

dy

=

x+1

y−1

∫

y−1

dy

=∫

x+1

dx

∫

y−1

d(y−1)

=∫

x+1

d(x+1)

ln∣y−1∣=ln∣x+1∣+ln∣C∣

y−1=C(x+1)