Question

Вычислить следующие интегралы методом подстановки

Answer 1

Ответ:

1

$\int\limits^{ 5 } _ {4} {(4 - x)}^{3} dx \\ \\ 4 - x = t \\ (4 - x)dx = dt \\ - dx = dt \\ dx = - dt \\ t_1 = 4 - 5 = - 1 \\ t_2 = 4 - 4 = 0 \\ \\ - \int\limits^{ - 1} _ {0} {t}^{3}dt = \int\limits^{ 0} _ { - 1}t {}^{3} dt = \frac{ {t}^{4} }{4} | ^{ - 1} _ {0} = \\ = \frac{1}{4} - 0 = 0.25$

2

$\int\limits^{ \frac{\pi}{12} } _ {0} \frac{dx}{ \cos {}^{2} (3x) } \\ \\ 3x = t \\ 3dx = dt \\ dx = \frac{dt}{3} \\ t_1 = 3 \times \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} \\ t_2 = 0 \\ \\ \frac{1}{3} \int\limits^{ \frac{\pi}{4} } _ {0} \frac{dt}{ \cos {}^{2} (t) } = \frac{1}{3} tg(t) | ^{ \frac{\pi}{4} } _ {0} = \\ = \frac{1}{3} tg \frac{\pi}{4} - tg0 = \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$