Предмет: Математика, автор: Devasinger

На окружности с диаметром MN, равным 34, взята точка K на расстоянии 15 от этого диаметра. Хорда KE пересекает диаметр MN в точке F под углом, равным arccos4/5
а)Докажите,что KF:FE=125:29.
б) Найдите площадь треугольника KEN.

Ответы

Автор ответа: lilyatomach
1

Ответ:

Площадь треугольника  Δ KEN  равна 8,7 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

На рисунке Δ MKN  - прямоугольный, так как ∠ MKN  опирается на диаметр MN .

По условию  MN= 34 ед. , KH = 15 ед.,   α=arccos 4/5.

Угол α - острый.

KH - высота прямоугольного треугольника Δ MKN  .

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза основанием высоты.

KH=\sqrt{MH\cdot HN}

Пусть  MH = x. Тогда HN= 34-x

\sqrt{x\cdot(34-x)} =15;\\34x-x^{2} =15^{2} ;\\x^{2} -34x+225=0;\\D{_1}= (-17) ^{2}-225=289-225=64=8^{2}  ;\\x{_1}=17-8=9;\\x{_2}= 17+8=25

MH= 9 ед. , HN= 34-9=25 ед.

Если  α=arccos 4/5, то cos α =4/5

Воспользуемся формулой и найдем тангенс этого угла

1+tg^{2} \alpha =\dfrac{1}{cos^{2} \alpha } ;\\\\1+tg^{2} \alpha=\dfrac{1}{\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2}  } ;\\\\1+tg^{2} \alpha=\dfrac{25}{16} ;\\\\tg^{2} \alpha=\dfrac{25}{16}-1;\\\\tg^{2} \alpha=\dfrac{9}{16};\\\\tg\alpha =\dfrac{3}{4}

Так как угол острый, то тангенс положителен.

Рассмотрим ΔKNF - прямоугольный

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg\alpha =\dfrac{KH}{HF} ;\\\\\dfrac{3}{4} =\dfrac{15}{HF};\\\\HF=\dfrac{15\cdot 4}{3} =\dfrac{5\cdot4}{1} =20

FN= HN- HF= 25-20 = 5 ед .

В ΔKNF- прямоугольном найдем гипотенузу по теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов .

KF^{2} =KH^{2} +HF^{2};\\KF= \sqrt{KH^{2} +HF^{2}}  ;\\KF= \sqrt{15^{2}+20^{2}  } =\sqrt{225+400} =\sqrt{625} =25

Рассмотрим хорды MN  и KE . Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды .

MF\cdot FN=KF\cdot FE;\\\\FE= \dfrac{MF\cdot FN}{KF} ;\\\\FE= \dfrac{29\cdot 5}{25} =\dfrac{29}{5}

Найдем отношение

KF: FE= 25: \dfrac{29}{5} =25\cdot \dfrac{5}{29} =\dfrac{25\cdot5}{29} =\dfrac{125}{29}

Что и требовалось доказать.

б)  Найдем площадь  треугольника Δ KEN по формуле

S= \dfrac{1}{2} \cdot a\cdot b \cdot sin \alpha

где a и b - стороны треугольника, α - угол между ними.

∠FNE = ∠ KFM = α ( равны как вертикальные )

Найдем синус угла. Так как

tg\alpha =\dfrac{sin\alpha }{cos\alpha } ;\\\\sin\alpha =tg\alpha \cdot cos\alpha ;\\\\sin\alpha =\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{5} =\dfrac{3}{5}

Тогда площадь треугольника

S= \dfrac{1}{2} \cdot FN\cdot FE \cdot sin\alpha ;\\\\S= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{29}{5} \cdot 5 \cdot \dfrac{3}{5} =\dfrac{87}{10} =8,7

Площадь треугольника  Δ KEN  равна 8,7 кв. ед.

Приложения:
Похожие вопросы
Предмет: Русский язык, автор: ариаеа07