Question

B
6. На диагонали AC квадрата ABCD взяли точки МиК
так, что угод МВК ранен 45". Докажите, что из
отрезков AM, МК и СК можно сложить
треугольник. Чему равен наибольший угод этого
треугольника?
​

Answer 1

Продлим BM и BK до пересечения со сторонами квадрата в точках P и Q. Рассмотрим треугольник PDQ.

Центр вневписанной окружности треугольника - пересечение биссектрис одного внутреннего и двух внешних углов.

Центр вневписанной окружности лежит на биссектрисе угла D. Отрезок PQ виден из центра вневписанной окружности под углом 90 -D/2. Точка B обладает обоими свойствами, следовательно является центром вневписанной окружности треугольника PDQ.

Пусть E - точка касания вневписанной окружности.

A, C - также точки касания (радиус в точку касания перпендикулярен касательной)

PA=PE, QC=QE (отрезки касательных из одной точки)

PB, QB - биссектрисы

△APM=△EPM, △CQK=△EQK (по двум сторонам и углу между ними)

Следовательно AM=EM, CK=EK

∠MAP=∠MEP=45, ∠KCQ=∠KEQ=45 => ∠MEK=90