Question

Помогите решить пожалуйста, не понимаю

Answer 1

Ответ:

$log_{5}( \frac{2}{x} + 2) - log_{5}(x + 3) \leqslant log_{5}( \frac{x + 6}{ {x}^{2} } )$

ОДЗ:

$\begin{cases} \frac{2}{x} + 2 > 0 & \\x + 3 > 0 &\\ \frac{x + 6}{ {x}^{2} } > 0\end{cases} \\ \\ 1) \frac{2}{x} + 2 > 0 \\ \frac{2 + 2x}{x} > 0 \\ \frac{2(x + 1)}{x} > 0 \\ + \: \: \: \: \: \: - \: \: \: \: \: \: + \\ - - ( - 1)- - 0- - > \\ x\in( - \infty; - 1)U(0; + \infty ) \\ \\ 2)x + 3 > 0 \\ x > - 3 \\ \\ 3) \frac{x + 6}{ {x}^{2} } > 0 \\ - \: \: \: \: \: \: \: \: \: + \: \: \: \: \: \: \: \: + \\ - - ( - 6) - - 0- - > \\ x\in( - 6;0)U(0 ;+ \infty ) \\ \\ \begin{cases}x \in( - \infty , - 1)U(0; + \infty )& \\x > - 3 & \\ x\in( -6,0)U(0; + \infty )\end{cases} \\ \\ = > x\in( - 3 ;- 1)U(0, + \infty )$

$log_{5}( \frac{2}{x} + 2) - log_{5}(x + 3) \leqslant log_{5}( \frac{x + 6}{ {x}^{2} } ) \\ log_{2}(( \frac{2}{x} + 2) \times \frac{1}{x + 3} ) \leqslant log_{5}( \frac{x + 6}{ {x}^{2} } ) \\ \frac{2 + 2x}{x(x + 3)} \leqslant \frac{x + 6}{ {x}^{2} } \\ \frac{2x+ 2}{ x{(x + 3)} } - \frac{x + 6}{ {x} {}^{2} } \leqslant 0 \\ \frac{(2x + 2) \times x - (x + 6)(x + 3)}{ {x}^{2}(x + 3) } \leqslant 0\\ \frac{2 {x}^{2} + 2x - {x}^{2} - 3x - 6x - 18 }{ {x}^{2}(x + 3) } \leqslant 0 \\ \frac{ {x}^{2} - 7x - 18 }{ {x}^{2}(x + 3) } \leqslant 0 \\ \\ {x}^{2} - 7x - 18 = (x + 2)( x- 9) \\ D = 49 + 72 = 121 \\ x_1 = \frac{7 + 11}{2} = 9 \\ x_2 = - 2 \\ \\ \frac{( x+ 2)(x - 9)}{ {x}^{2}( x+ 3) } \leqslant 0 \\ \: - \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: + \: \: \: \: \: \: \: \: \: \ - \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - \: \: \: \: \: + \\ - - ( - 3) - - (- 2) - - 0 - - 9 - > \\ x\in( - \infty ; - 3)U[ - 2;0)U(0,9]$

С ОДЗ:

$x\in[- 2 ,- 1)U(0;9]$