Дана пирамида, у которой все боковые грани с плоскостью основания образуют равные углы.
Которые из утверждений верны?
Ответ:
1. основанием пирамиды может быть правильный многоугольник
2. вершина проецируется в точку пересечения биссектрис основания
3. вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды
4. все высоты боковых граней равны
Ответы
Ответ:
1, 2 и 4.
Объяснение:
SO - высота пирамиды.
Проведем высоты боковых граней: SK, SL, SM и SN.
KO, LO, MO и NO - их проекции на плоскость основания. Тогда по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, эти отрезки перпендикулярны соответствующим сторонам основания.
Значит, углы наклона боковых граней к плоскости основания:
∠SKO = ∠SLO = ∠SMO = ∠SNO.
ΔSKO = ΔSLO = ΔSMO = ΔSNO по общему катету (SO) и противолежащему острому углу. Следовательно,
KO = LO = MO = NO, т.е. точка О равноудалена от сторон основания, значит О - центр окружности, вписанной в основание.
Доказано, что
- если боковые грани пирамиды с плоскостью основания образуют равные углы, то высота пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в снование.
Теперь рассмотрим данные утверждения.
1. Основанием пирамиды может быть правильный многоугольник. - верно.
Основанием такой пирамиды может быть многоугольник, в который можно вписать окружность, а в правильный многоугольник можно вписать окружность.
2. Вершина проецируется в точку пересечения биссектрис основания. - верно.
Вершина такой пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности, а он находится в точке пересечения биссектрис.
3. Вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды. - неверно.
4. Все высоты боковых граней равны. - верно.
Это следует из равенства треугольников ΔSKO = ΔSLO = ΔSMO = ΔSNO.
