Question

решить задачу Коши: y'+y/2x=x²; y(1)=1​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

y'+y/2x=x²; y(1)=1​

умножим обе части на √х

$\displaystyle y'\sqrt{x} +\frac{y}{2\sqrt{x} } =x^{5/2}$

$\displaystyle dx=\frac{1}{2\sqrt{x} }$

тогда получим

$\displaystyle \sqrt{x} \frac{dy}{dx} +\frac{d}{dx} (\sqrt{x} )=x^{5/2}$

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\displaystyle f\frac{dg}{x} +g\frac{df}{dx} =\frac{d}{dx} (fg)\\\\\end{array}\right]$

применив это получим

$\displaystyle \frac{d}{dx} (\sqrt{x} *y)=x^{5/2}$

теперь интегрируем обе части по х

$\displaystyle \int \frac{d}{dx} (\sqrt{x} *y)dx=\int x^{5/2}dx$

$\displaystyle y\sqrt{x} = \frac{2x^{7/2}}{7} +C$

$\displaystyle y = \frac{2x^3}{7} +\frac{C}{\sqrt{x} }$

это общий интеграл.

теперь решаем задачу Коши у(1)=1

1= 2/7 +С  ⇒  С = 5/7

и вот ответ

$\displaystyle y = \frac{2x^3}{7} +\frac{5}{7\sqrt{x} }$